「代码随想录」416. 分割等和子集【动态规划】力扣详解！
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416. 分割等和子集
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/
题目难易：中等
给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
注意:
每个数组中的元素不会超过 100
数组的大小不会超过 200
示例 1:
输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:
输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
思路
这道题目初步看，是如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题
- 698.划分为k个相等的子集
- 473.火柴拼正方形
这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。
本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。
如果对01背包不够了解，建议仔细看完如下两篇：
- 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！
- 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）
01背包问题
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。
要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。
即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。
要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
01背包中，dp[i] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
套到本题，dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]。
- 确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
- dp数组如何初始化
在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
代码如下：
// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);
- 确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒叙遍历！
代码如下：
// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}
}
- 举例推导dp数组
dp[i]的数值一定是小于等于i的。
如果dp[i] == i 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和i，理解这一点很重要。
用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：
最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
综上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;// dp[i]中的i表示背包内总和// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了vector<int> dp(10001, 0); for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {sum += nums[i];}if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;// 开始 01背包 for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}// 集合中的元素正好可以凑成总和target if (dp[target] == target) return true;return false; }
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)，虽然dp数组大小为一个常数，但是大常数
总结
这道题目就是一道01背包应用类的题目，需要我们拆解题目，然后套入01背包的场景。
01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是nums[i]，重量是nums[i]i，价值也是nums[i]，背包体积是sum/2。
看代码的话，就可以发现，基本就是按照01背包的写法来的。
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题目描述 给定一个只包含正整数的非空数组.是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等. 注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200 示例 1: 输入: [1, ... 文章目录 1.0-1背包理论基础 1.1.概述 1.2.0-1背包 1.3.二维dp数组01背包--动规五部曲 1.4.完整测试代码 2.0-1背包滚动数组 2.1.一维滚动数组 2.2.一维dp数组 ... 打卡第42天,搞搞01背包. 今日任务 01背包问题,你该了解这些! 01背包问题,你该了解这些! 滚动数组 416.分割等和子集 背包问题1.0 :0-1 背包 有n件物品和一个最多能背重量为w 的 ... 代码随想录算法训练营day42 | 背包理论基础,背包理论基础(滚动数组), 416. 分割等和子集 1.01背包理论基础 背包问题概述 01背包 二维dp数组01背包案例 2.01背包理论基础(滚动 ... # 二维dp数组,01背包 1.确定dp数组以及下标的含义 dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少. 2. gpt 解决我的困惑 3. 另外 ... 今天只有1道题,属于动态规划的01背包问题的应用.首先理解一下动态规划的01背包问题.推荐一个视频,动态规划DP0-1背包,这是我认为讲得最为通透的.很多讲解动态背包问题的,一上来就画二维表格,遍历背 ... 文章目录 01背包基础 (二维数组) 思路 递推公式 初始化 遍历顺序 一维dp数组(滚动数组) 一维数组的递推公式 遍历顺序 LeetCode 416. 分割等和子集 思路 总结 01背包基础 (二 ... 不知不觉又到周五,菌菌又带着新功能来啦! 代码搜索功能发布,提升开发效率 开发一个项目,配置参数是必不可少的步骤,而项目规模越大需要配置的参数就越多.怎么样?是不是已经开始头疼了?dengdengde ... 前段时间写过一篇文章 如何排版微信公众号「代码块」,讲的是如何使用浏览器插件 Markdown Here 来排版代码块.虽然用 Markdown Here 排版出来的样式还不错,但存在一个问题,就是代 ... 图灵丛书的一句话说的很好,Standing on the shoulders of giants,是的,我们一直站在巨人的肩上,我们起步都在沿着他们的轨迹前行,之后慢慢的在前人的开发基础或者规范上写出 ...「代码随想录」416. 分割等和子集【动态规划】力扣详解！相关推荐
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