代码随想录算法训练营第四十二天 | 01背包问题,你该了解这些、01背包问题,你该了解这些 滚动数组、 416. 分割等和子集
打卡第42天,搞搞01背包。
今日任务
- 01背包问题,你该了解这些!
- 01背包问题,你该了解这些! 滚动数组
- 416.分割等和子集
背包问题1.0 :0-1 背包
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是 o ( 2 n ) o(2^n) o(2n),这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!
01背包
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 v i v_i vi,价值是 w i w_i wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行,每行两个整数 v i v_i vi, w i w_i wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0< v i v_i vi, w i w_i wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
8
代码随想录
确定 dp 以及下标定义
dp[i][j] 表示从下标为 [0-i] 的物品里任意取,放进容量为 j 的背包,价值总和最大是多少。
确定递推公式
两个方向推出来dp[i][j]不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以被背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
初始化
首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来,那么i为0的时候就一定要初始化。dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值。那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。
确定遍历顺序
二维数组的情况下 先遍历背包跟先遍历重量都可以
一维数组的情况下 先遍历重量推导
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {int n, v;scanf("%d %d", &n, &v);vector<int> weight(n);vector<int> value(n);for(int i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &weight[i]);scanf("%d", &value[i]);}// 初始化vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(v + 1, 0));for(int i = weight[0]; i <= v; i++) {dp[0][i] = value[0];}for(int i = 1; i < n; i++) {for(int j = 1; j <= v; j++) {if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i], dp[i - 1][j]);}}printf("%d", dp[n - 1][v]);return 0;
}
优化空间(滚动数组)
我们可以发现想知道dp[i][j] ,需要知道dp[i - 1][j - weight[i]] 和 dp[i - 1][j],都只是前一层的信息,所以我们可以用一个一维数组来保存信息,只不过我们的遍历顺序第一次遍历的是物品,第二层遍历的是背包,而且是从大到小遍历,因为想要知道大重量背包的最大价值总和,要知道前面的小重量背包的最大价值总和,而我们是用滚动数组保存,如果从小到大遍历,会改变小重量背包的最大价值总和。
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {int n, v;scanf("%d %d", &n, &v);vector<int> weight(n);vector<int> value(n);for(int i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &weight[i]);scanf("%d", &value[i]);}// 初始化vector<int> dp(v + 1, 0);for(int i = weight[0]; i <= v; i++) {dp[i] = value[0];}for(int i = 1; i < n; i++) {for(int j = v; j >= 1; j--) {if(j < weight[i]) dp[j] = dp[j];else dp[j] = max(dp[j - weight[i]] + value[i], dp[j]);}}printf("%d", dp[v]);return 0;
}
416. 分割等和子集
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums
。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。
输入:nums = [1,5,11,5]
输出:true
解释:数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
输入:nums = [1,2,3,5]
输出:false
解释:数组不能分割成两个元素和相等的子集。
我的题解
回溯暴力搜索,超时了哈哈哈
class Solution {public:bool backtracking(vector<int>& nums, int sum, int starIndex) {if(sum == 0) return true;if(sum < 0) return false;for(int i = starIndex; i < nums.size(); i++) {sum -= nums[i];if(backtracking(nums, sum, i + 1)) return true;sum += nums[i];}return false;}bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for(int num : nums) sum += num;if(sum % 2 == 1) return false;sort(nums.begin(), nums.end());return backtracking(nums, sum / 2, 0);}
};
01背包做法,但是不是很理解。
class Solution {public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for(int num : nums) sum += num;if(sum % 2 == 1) return false;vector<int> dp(sum / 2 + 1, 0);for(int i = nums[0]; i <= sum / 2; i++) dp[i] = nums[0]; // 初始化for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {for(int j = sum / 2; j >= 1; j--) {if(j < nums[i]) dp[j] = dp[j];else dp[j] = max(dp[j - nums[i]] + nums[i], dp[j]);}}return dp[sum / 2] == sum / 2;}
};
代码随想录
class Solution {public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;// dp[i]中的i表示背包内总和// 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200// 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了vector<int> dp(10001, 0);for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {sum += nums[i];}// 也可以使用库函数一步求和// int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;// 开始 01背包for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}// 集合中的元素正好可以凑成总和targetif (dp[target] == target) return true;return false;}
};
- 时间复杂度:O(n^2)
- 空间复杂度:O(n),虽然dp数组大小为一个常数,但是大常数
代码随想录算法训练营第四十二天 | 01背包问题,你该了解这些、01背包问题,你该了解这些 滚动数组、 416. 分割等和子集相关推荐
- _42LeetCode代码随想录算法训练营第四十二天-动态规划 | 121.买卖股票的最佳时机、122.买卖股票的最佳时机II
_42LeetCode代码随想录算法训练营第四十二天-动态规划 | 121.买卖股票的最佳时机.122.买卖股票的最佳时机II 题目列表 121.买卖股票的最佳时机 122.买卖股票的最佳时机II 1 ...
- 代码随想录算法训练营第四十二天-动态规划4|● 01背包问题,你该了解这些! ● 01背包问题,你该了解这些! 滚动数组 ● 416. 分割等和子集
今天只有1道题,属于动态规划的01背包问题的应用.首先理解一下动态规划的01背包问题.推荐一个视频,动态规划DP0-1背包,这是我认为讲得最为通透的.很多讲解动态背包问题的,一上来就画二维表格,遍历背 ...
- 代码随想录算法训练营第四十六天|139.单词拆分、多重背包、背包问题总结篇
一·.单词划分 给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict,判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词. 分析如下: 动规五部曲分析如下: 1.确定dp数组以及 ...
- 代码随想录算法训练营第四十三天 | 填满背包有几种方法、背包有两个维度
1049.最后一块石头的重量II 文档讲解:代码随想录 (programmercarl.com) 视频讲解:动态规划之背包问题,这个背包最多能装多少?LeetCode:1049.最后一块石头的重量II ...
- 代码随想录算法训练营第四期第六天| 454.四数相加II、383.赎金信、15.三数之和、18. 四数之和
454.四数相加II 给你四个整数数组nums1.nums2.nums3和nums4 ,数组长度都是n ,请你计算有多少个元组(i, j, k, l)能满足: 0 <= i, j, k, l & ...
- 代码随想录算法训练营第五十二天_第九章_动态规划 | 121. 买卖股票的最佳时机、122.买卖股票的最佳时机II
LeetCdoe 121. 买卖股票的最佳时机 给定一个数组 prices ,它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格. 你只能选择 某一天 买入这只股票,并选择在 未 ...
- 代码随想录算法训练营第七天| 哈希表理论基础 ,454.四数相加II, 383. 赎金信, 15. 三数之和, 18. 四数之和
代码随想录算法训练营第七天| 哈希表理论基础 ,454.四数相加II, 383. 赎金信, 15. 三数之和, 18. 四数之和 454.四数相加II 建议:本题是 使用map 巧妙解决的问题,好好体 ...
- 代码随想录算法训练营第六天|454.四数相加II,383. 赎金信,15. 三数之和,18. 四数之和。
代码随想录算法训练营第六天|454.四数相加II,383. 赎金信,15. 三数之和,18. 四数之和. 454.四数相加II 383. 赎金信 15. 三数之和 18. 四数之和 454.四数相加I ...
- 代码随想录算法训练营第⑦天 | 454.四数相加II ,383. 赎金信,15. 三数之和,18. 四数之和 9.30
代码随想录算法训练营第⑦天 | 454.四数相加II ,383. 赎金信,15. 三数之和,18. 四数之和 9.30 454.四数相加II 可以先用2次for循环遍历前两个数组a,b 并存储到map ...
最新文章
- js 创建一条通用链表
- 算法------------存在重复元素 II(Java 版本)
- agilebpm脑图_干货基于SpringBoot2开发的Activiti引擎流程管理项目脚手架
- 136. 邻值查找【set lower_bound】
- websphere、weblogic上JConsole的配置
- 日常检查IBM P系列小型机状态的项目及其相关命令
- 汉字我在计算机中的处理过程,详细说明汉字在计算机中的处理流程以及汉字编码在处理过程中的转化关系...
- python比较日期大小_Python日期的处理——datetime模块
- BugkuCTF-PWN题pwn2-overflow超详细讲解
- python中split的用法-python中的split()函数的用法
- 素数之年,IT运维其实可以很简单
- 【CPI指数预测】基于matlab BP神经网络CPI指数预测【含Matlab源码 662期】
- [C#] .NET4.0中使用4.5中的 async/await 功能实现异步
- 飞信2008协议抓包(2)
- 桂林电子科技大学第三届ACM程序设计竞赛 C
- python PNG图片显示
- ip okhttp 设置_okhttp3及httpclient中的代理设置
- 被裁员后:三个月含泪啃完了1111道面试解析,再入职腾讯年薪45万
- android电量优化方法,Android性能优化——电池使用优化
- 相亲交友v6.7.7