向量场的方向导数仍为向量场

这个问题要追溯到,我看normal curvature的时候, 里面涉及到了一个叫做Shaper Operator, 在wolfram mathworld里面的定义为:

而normal curvature在里面的定义为:

按道理讲,curvature应该是个标量, 所以这个的Shape operator的结果应该为一向量,然而按照它的定义, 最开始我理解成向量N在v方向上的方向导数, 那么向量对向量的导数应该为一jacob矩阵, 这个问题困扰了我几天,于是追本溯源,最直接也最暴力,找本相关的书来看呗,查到这属于微分几何的范畴,最后找到本Elementary differential geometry来看.

最后,在书中的一个地方找到了答案

由此描述,我们可以,unit tangent vector field的导数为curvature vector field, 同样是个向量场, 至此说有谜团都解开了.

最后给出它的定义吧

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