第七节 方向导数与梯度
教学目的:掌握方向导数的定义和求法;掌握梯度的定义、求法及其与等高线的关系.
教学重点:方向导数与梯度的求法.
教学难点:方向角的确定.
教学内容:
一、方向导数
现在我们来讨论函数在一点
沿某一方向的变化率问题.
定义 设函数在点
的某一邻域
内有定义.自点
引射线
.设
轴正向到射线
的转角为
(逆时针方向:
0;顺时针方向:
0),并设
'(
+△
,
+△
)为
上的另一点且
'∈
.我们考虑函数的增量
(
+△
,
+△
)-
与
、
'两点间的距离
的比值.当
'沿着
趋于
时,如果这个比的极限存在,则称这极限为函数
在点
沿方向
的方向导数,记作
,即
(1)
从定义可知,当函数在点
的偏导数
x、
y存在时,函数在点
沿着
轴正向
=
,
轴正向
=
的方向导数存在且其值依次为
x、
y,函数
在点
沿
轴负向
=
,
轴负向
=
的方向导数也存在且其值依次为-
x、-
y.
关于方向导数的存在及计算,我们有下面的定理.
定理 如果函数在点
是可微分的,那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有
(2)
其中为
轴到方向
的转角.
证 根据函数在点
可微分的假定,函数的增量可以表达为
两边各除以,得到
所以
这就证明了方向导数存在且其值为
例8-26 求函数=
在点
处沿从点
到点
方向的方向导数.
解 这里方向即向量
=
的方向,因此
轴到方向
的转角
,
因为
在点 ,
,
.故所求方向导数
例8-27 设由原点到点的向径为
,
轴到
的转角为
,
轴到射线
的转角为
,求
,其中
=
.
解 因为
.
所以
由例8-26可知,当时,
,即
沿着向径本身方向的方向导数为1;而当
时,
, 即
沿着与向径垂直方向的方向导数为零.
对于三元函数=
来说,它在空间一点
沿着方向
(设方向
的方向角为
的方向导数,同样可以定义为
(3)
其中,△
=
,△
=
,△
=
.
同样可以证明,如果函数在所考虑的点处可微分,那末函数在该点沿着方向的方向导数为
二、 梯度
1.梯度的定义
与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.
定义 设函数在平面区域
内具有一阶连续偏导数,则对于每一点
,都可定出一个向量
这向量称为函数=
在点
的梯度,记作
,即
=
如果设是与方向
同方向的单位向量,则由方向导数的计算公式可知
这里,(^,e)表示向量
与
的夹角.由此可以看出,就是梯度在射线
上的投影,当方向
与梯度的方向一致时,有
(
^,
)
1,
从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值,也就是说,梯度的方向是函数
在这点增长最快的方向.因此,我们可以得到如下结论:
函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.
由梯度的定义可知,梯度的模为
当不为零时,那末
轴到梯度的转角的正切为
我们知道,一般说来二元函数在几何上表示一个曲面,这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线
的方程为
这条曲线在
面上的投影是一条平面曲线
(图8―10),它在
平面直角坐标系中的方程为
对于曲线上的一切点,已给函数的函数值都是
,所以我们称平面曲线
为函数
的等高线.
由于等高线上任一点
处的法线的斜率为
,
所以梯度
为等高线上点处的法向量,因此我们可得到梯度与等高线的下述关系:函数
在点
的梯度的方向与过点
的等高线
在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线(图8―10),而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向.
例8-28 求
解 这里
因为
所以
3.数量场与向量场
如果对于空间区域内的任一点
,都有一个确定的数量
,则称在这空间区域
内确定了一个数量场(例如温度场、密度场)等.一个数量场可用一个数量函数
来确定.如果与点
相对应的是一个向量
,则称在这空间区域
内确定了一个向量场(例如力场,速度场等).一个向量场可用一个向量函数
来确定,而
,
其中是点
的数量函数.
利用场的概念,我们可以说向量函数确定了一个向量场——梯度场,它是由数量场
产生的.通常称函数
为这个向量场的势.而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场.
小结:本节主要研究函数在一点
沿某一方向的变化率问题,给出方向导数的定义及其相关的梯度的定义,推导出方向导数和梯度的求法,并通过梯度的意义介绍了等高线、等量面、数量场与向量场等概念.
作业:
1.求函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+
)的方向的方向导数.
2.求函数在抛物线
上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数.
3.求函数在点
处沿曲线
在这点的内法线方向的方向导数.
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