[六省联考2017]分手是祝愿

[Luogu3750]

每次随机选择一个开关$i$ , 会使$i$的约数状态全部改变 , 目标把全部灯关上 , 如果当前最优策略步数$\le K$则停止随机选 , 直接选$K$次 , 求期望步数

原题解

任何键的操作都不能被别的键替代 , 这就不再是一道$DP$题 , 而转化为一道期望题了

设 $f[i]$ 表示从 $i$ 个需要按的键到 $i-1$ 个需要按的键的期望操作次数
则 $f[i]=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}\times(f[i]+f[i+1]+1)$
意思是有$\frac{i}{n}$的概率按到正确位置 , 其他的按错了还要按回来
化简得 $f[i]=\frac{n+(n-i)\times f[i+1]}{i}$

如果$ cnt>K$直接把 $f[cnt]+f[cnt-1]+....+f[k+1]$ 作为答案即可

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7;
inline LL read(){register LL x=0,f=1;register char c=getchar();while(c<48||c>57){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>=48&&c<=57)x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();return f*x;
}const int MAXN=1e5+5;
const int mod=100003;int f[MAXN];bool a[MAXN];
int n,K,ans,cnt;inline int add(int x,int y){x+=y;return x>mod?x-mod:x;}
inline int dec(int x,int y){x-=y;return x<0?x+mod:x;}
inline int mul(LL x,int y){x*=y;return x>mod?x%mod:x;}inline int qpow(int a,int b){int res=1;while(b){if(b&1) res=mul(res,a);a=mul(a,a);b>>=1;}return res;
}int main(){n=read(),K=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();for(int i=n;i>=1;i--){if(a[i]==0) continue;cnt++;for(int j=1;j*j<=i;j++)if(i%j==0){a[j]^=1;if(j*j!=i) a[i/j]^=1;}}f[n+1]=0;for(int i=n;i>=1;i--)f[i]=mul(add(n,mul(n-i,f[i+1])),qpow(i,mod-2));if(cnt<=K) ans=cnt;else{for(int i=cnt;i>K;i--) ans=add(ans,f[i]);ans=add(ans,K);}for(int i=1;i<=n;i++) ans=mul(ans,i);printf("%d\n",ans);
}

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