主要是为了密码学整理的。（这排版真是。。我真的不知道怎么弄，谁能帮帮我）

欧几里得算法

欧几里得算法或者叫做辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

gcd(a,b)=gcd(b,amodb)(1) (1) g c d ( a , b ) = g c d ( b , a m o d b )

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)\tag{1}

eg: 计算45和12的最大公约数。
gcd(45,12) = gcd(12,9)
gcd(12,9) = gcd(9,3)
gcd(9,3) = gcd(3,0)
所以，45和12的最大公约数是3.

扩展欧几里得算法

给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得

ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=bx+(amodb)y(2) (2) a x + b y = g c d ( a , b ) = g c d ( b , a m o d b ) = b x + ( a m o d b ) y

ax + by = gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) = bx + (a mod b)y\tag{2}

先将表达式按上面的公式做到底， Mul=y的系数/x的系数 M u l = y 的系数 / x 的系数 Mul = y的系数 / x的系数；
再逆溯回去，得到x和y的值。
逆溯方法： tmp=y;y=x;x=tmp−mul∗x t m p = y ; y = x ; x = t m p − m u l ∗ x tmp = y; y = x; x = tmp - mul * x 。

应用

在有限域中求某个数的逆。
eg：在Z₂₆上求17的逆。

Mul	Expression	Trace Back
mul：1	26y+17x=1(mod26) 26 y + 17 x = 1 ( m o d 26 ) 26y + 17x = 1 (mod 26)	tmp=−1,y=2,x=−1−1×2=−3 t m p = − 1 , y = 2 , x = − 1 − 1 × 2 = − 3 tmp = -1, y = 2, x = -1 - 1 \times 2 = -3
mul：1	17y+9x=1(mod26) 17 y + 9 x = 1 ( m o d 26 ) 17y + 9x = 1 (mod 26)	tmp=1,y=−1,x=1−1×(−1)=2 t m p = 1 , y = − 1 , x = 1 − 1 × ( − 1 ) = 2 tmp = 1, y = -1, x = 1 - 1 \times (-1) = 2
mul：1	9y+8x=1(mod26) 9 y + 8 x = 1 ( m o d 26 ) 9y + 8x = 1 (mod 26)	tmp=0,y=1,x=0−1×1=−1 t m p = 0 , y = 1 , x = 0 − 1 × 1 = − 1 tmp = 0, y = 1, x = 0 - 1 \times 1 = -1
mul：8	8y+1x=1(mod26) 8 y + 1 x = 1 ( m o d 26 ) 8y + 1x = 1 (mod 26)	tmp=1,y=0,x=1−8×0=1 t m p = 1 , y = 0 , x = 1 − 8 × 0 = 1 tmp = 1, y = 0, x = 1 - 8 \times 0 = 1
mul：-	1y+0x=1(mod26) 1 y + 0 x = 1 ( m o d 26 ) 1y + 0x = 1 (mod 26)	tmp=−,y=1,x=0 t m p = − , y = 1 , x = 0 tmp = -, y = 1, x = 0

17的逆元是-3，在该域上就是 26−3=23 26 − 3 = 23 26-3=23。

在有限域中求多项式的逆
有限域 GF(28) G F ( 2 8 ) GF(2^8)使用 Z2[x] Z 2 [ x ] Z_2[x]上的不可约多项式 m(x)=x8+x4+x3+x+1 m ( x ) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 m(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1来构造。该有限域应用于AES加密算法S盒的构造。
eg：求0x4E的逆元。
1. 0x4E = (0100,1110)₂，将0x4E表示为 Z Z Z₂[x]上的多项式 x6+x3+x2+x" role="presentation" style="position: relative;">x6+x3+x2+xx6+x3+x2+xx^6 + x^3 + x^2 + x。
2. 和数字方法处理的步骤一样，只是运算在多项式上，多项式运算加减是一样的,并且都是模（ x8+x4+x3+x+1 x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 x^8 + x^4 + x^3 + x + 1）的。
  eg：（具体除法我还不知道在markdown上怎么写。。先这样）
  x8+x4+x3+x+1x6+x3+x2+x=x2........x5+x+1 x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 x 6 + x 3 + x 2 + x = x 2 . . . . . . . . x 5 + x + 1 \frac{x^8 + x^4 + x^3 + x + 1}{x^6 + x^3 + x^2 + x} = x^2........x^5 + x + 1
  先将Mul和Expression按公式(2)拓展到（x)y+z=1 的形式，在这种情况下，y只能是0，z只能是1，然后再通过回溯得到多项式的逆

Mul	Expression	Trace Back
mul： x2 x 2 x^2	(x8+x4+x3+x+1)y+(x6+x3+x2+x)z=1(modx8+x4+x3+x+1) ( x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 ) y + ( x 6 + x 3 + x 2 + x ) z = 1 ( m o d x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 ) (x^8 + x^4 + x^3 + x + 1)y + (x^6 + x^3 + x^2 + x)z = 1 (mod x^8 + x^4 + x^3 + x + 1)	tmp=x4+x3+x2+1,y=x5+x4+x3+x2+1,z=x7+x6+x5+x3+1 t m p = x 4 + x 3 + x 2 + 1 , y = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1 , z = x 7 + x 6 + x 5 + x 3 + 1 tmp = x^4 + x^3 + x^2 + 1, y = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1, z = x^7 + x^6 + x^5 + x^3 + 1
mul： x x x	(x6+x3+x2+x)y+(x5+x+1)z=1" role="presentation" style="position: relative;">(x6+x3+x2+x)y+(x5+x+1)z=1(x6+x3+x2+x)y+(x5+x+1)z=1(x^6 + x^3 + x^2 + x)y + (x^5 + x + 1)z = 1	tmp=x2+x+1,y=x4+x3+x2+1,z=x5+x4+x3+x2+1 t m p = x 2 + x + 1 , y = x 4 + x 3 + x 2 + 1 , z = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1 tmp = x^2 + x + 1, y = x^4 + x^3 + x^2 + 1, z = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1
mul： x2 x 2 x^2	(x5+x+1)y+(x3)z=1 ( x 5 + x + 1 ) y + ( x 3 ) z = 1 (x^5 + x + 1)y + (x^3)z = 1	tmp=1,y=x2+x+1,z=x4+x3+x2+1 t m p = 1 , y = x 2 + x + 1 , z = x 4 + x 3 + x 2 + 1 tmp = 1, y = x^2 + x + 1, z = x^4 + x^3 + x^2 + 1
mul： x2 x 2 x^2	(x3)y+（x+1)z=1 ( x 3 ) y + （ x + 1 ) z = 1 (x^3)y + （x + 1)z = 1	tmp=x+1,y=1,z=x2+x+1 t m p = x + 1 , y = 1 , z = x 2 + x + 1 tmp = x + 1, y = 1, z = x^2 + x + 1
mul：0	（x+1)y+(x2)z=1 （ x + 1 ) y + ( x 2 ) z = 1 （x + 1)y + (x^2)z = 1	tmp=1,y=x+1,z=1 t m p = 1 , y = x + 1 , z = 1 tmp = 1, y = x + 1, z = 1
mul：x	（x2)y+(x+1)z=1 （ x 2 ) y + ( x + 1 ) z = 1 （x^2)y + (x + 1)z = 1	tmp=1,y=1,z=x+1 t m p = 1 , y = 1 , z = x + 1 tmp = 1, y = 1, z = x + 1
mul：1	（x+1)y+(x)z=1 （ x + 1 ) y + ( x ) z = 1 （x + 1)y + (x)z = 1	tmp=0,y=1,z=1 t m p = 0 , y = 1 , z = 1 tmp = 0, y = 1, z = 1
mul：-	（x)y+z=1 （ x ) y + z = 1 （x)y + z = 1	tmp=−,y=0,z=1 t m p = − , y = 0 , z = 1 tmp = -, y = 0, z = 1

所以， x6+x3+x2+x x 6 + x 3 + x 2 + x x^6 + x^3 + x^2 + x在有限域 GF(28) G F ( 2 8 ) GF(2^8)上的逆元是 x7+x6+x5+x3+1 x 7 + x 6 + x 5 + x 3 + 1 x^7 + x^6 + x^5 + x^3 + 1；0x4E的逆元是0xE9。
（未完待续。。）

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