最大权闭合子图

对于最大权闭合子图的理论学习并且补充一部分网络流的笔记

• 有向图中若干个点组成的一个集合\(V\)，集合\(V\)的所有出边所连的点也都属于\(V\)，这些点构成的图即为闭合子图
• 点有点权，最大权闭合子图即为权值和最大的闭合子图

Solution

建图

• 建立超级源点\(s,t\)
• \(s\)向所有点权为正的点连一条容量为其权值的弧
• 所有点权为负的点向\(t\)连一条容量为其权值绝对值的弧
• 对于原图中的所有有向边，均在网络中连一条对应的且容量为正无穷的弧

答案

• 正权点的点权和-最大流
• ……为什么啊？

概念

• 割：删除一个集合中的所有弧，\(s,t\)不连通，则该集合为一个割

• 最小割：所有割中，容量和最小的一个

• 简单割：割中的每条弧都与\(s\)或\(t\)直接相连

• 最小割最大流定理：最大流 = 最小割

  • 大概口胡一下：

  • 任意一个流都小于等于任意一个割

    \(s\)到\(t\)的流量不会凭空消失，从\(s\)流出多少，就进入到\(t\)多少。所以任意一个割，所流过的流量都相等。并且由于容量限制，流量小于等于容量，所以任意一个流都会小于等于任意一个割

  • 对于任意一个割，恒大于等于任意流。则等价于任意割大于等于最大流。因为只要比最大流还大，那么一定比其他的流还大。并且可以知道，如果存在一个割可以等于最大流，那么一定就是最小割。

    存在一个割=最大流。计算最大流，在残余网络中，构造两个点集\(S,T\)，\(S\)中的点与\(s\)相连通，\(T\)中的点与\(t\)相连通。并且可以知道，\(S\)与\(T\)相连的弧一定都是满流，否则可以继续增广。那么这些弧的容量=流量，它们构成的割=流量，而此时流量为最大流。

证明

• 闭合图中最小割是简单割
  • 由于和\(s,t\)无关的弧都是\(+\infty\)，我们不会去选它们作为割
  • 我们只会去割一割那些与\(s,t\)相连的弧
  • 所以闭合图中，最小割是简单割
• 简单割对应了一个闭合子图
  • 一个简单割将网络分为\(S,T\)两个点集，\(S\)中的点与\(s\)相连通，\(T\)中的点与\(t\)相连通
  • 其中\(S\)是一个闭合子图
    • 证明：由于我们不会去割那些容量为\(+ \infty\)的弧，所以原图中的弧都完好无损。
    • 引理：若结点\(u\)属于一个闭合子图，则其出边所指向的结点\(v\)也属于闭合子图
    • 原图中的弧都在，并且\(S\)中的点不会连到\(T\)，所以其所有的出边都连在了\(S\)
    • 那么这就是一个闭合子图
• 设\(W\)表示某个简单割对应的闭合子图的权值
• 设\(S_+\)表示\(S\)中的正权点权值之和，\(S_-\)表示\(S\)中的负权点权值之和
• 设\(T_+\)表示\(T\)中的正权点权值之和，\(T_-\)表示\(T\)中的负权点权值之和
• 则：\(W = S_+ + S_- = S_+ - |S_-|\)
• 设\(C\)表示某个简单割的大小
• 则：\(C = |S_-| + |T_+|\)
  • 这里解释一下，因为负权点与\(t\)有一条容量为其点权绝对值的弧，而它又属于\(S\)，所以它与\(t\)相连的弧被割了

• \(W + C = S_+ - |S_-| + |S_-| + T_+ = S_+ + T_+\)

• 所以：\(W = S_+ + T_+ - C\)

• 你会发现前两项其实就是所有正权点的点权和。我们要求出最大权闭合子图，即让\(W\)最大，也就是让\(C\)最小，则\(C\)就需要等于最小割，也等于最大流。

综上所述，最大权闭合子图 = 正权点权值和 - 最大流(最小割)

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