Leetcode（347）——前 K 个高频元素

题目

题解

方法一：桶排序

思路

顾名思义，桶排序的意思是为每个值设立一个桶，桶内记录这个值出现的次数（或其它属性），然后对桶进行排序。针对样例来说，我们先通过桶排序得到三个桶 [1,2,3,4]，它们的值分别为 [4,2,1,1]，表示每个数字出现的次数。
紧接着，我们对桶的频次进行排序，前 k 大个桶即是前 k 个频繁的数。这里我们可以使用各种排序算法，甚至可以再进行一次桶排序，把每个旧桶根据频次放在不同的新桶内。针对样例来说，因为目前最大的频次是 4，我们建立 [1,2,3,4] 四个新桶，它们分别放入的旧桶为 [[3,4],[2],[],[1]]，表示不同数字出现的频率。最后，我们从后往前遍历，直到找到 k 个旧桶。

代码实现

我的：

class Solution {public:vector<int> topKFrequent(vector<int>& nums, int k) {if(nums.size() == 1) return nums;unordered_map<int, int> times;int maxcount = 0;for(auto& it: nums) maxcount = max(maxcount, ++times[it]);vector<vector<int>> bucket(maxcount+1);for(auto& it: times) bucket[it.second].push_back(it.first);vector<int> ans;// 因为保证答案唯一，所以不考虑 maxcount 的大小while(k > 0){if(!bucket[maxcount].empty()){k -= bucket[maxcount].size();ans.insert(ans.end(), bucket[maxcount].begin(), bucket[maxcount].end());}maxcount--;}return ans;}
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n)O(n)O(n)，其中 nnn 是数组长度
空间复杂度：O(max(n,k))O(max(n, k))O(max(n,k))，其中 nnn 是数组长度

方法二：堆排序

思路

首先遍历整个数组，并使用哈希表记录每个数字出现的次数，并形成一个「出现次数数组」。找出原数组的前 kkk 个高频元素，就相当于找出「出现次数数组」的前 kkk 大的值。

最简单的做法是给「出现次数数组」排序。但由于可能有 O(N)O(N)O(N) 个不同的出现次数（其中 NNN 为原数组长度），故总的算法复杂度会达到 O(Nlog⁡N)O(N\log N)O(NlogN)，不满足题目的要求。

在这里，我们可以利用堆的思想：建立一个小顶堆，然后遍历「出现次数数组」：

如果堆的元素个数小于 kkk，就可以直接插入堆中。
如果堆的元素个数等于 kkk，则检查堆顶与当前出现次数的大小。如果堆顶更大，说明至少有 kkk 个数字的出现次数比当前值大，故舍弃当前值；否则，就弹出堆顶，并将当前值插入堆中。

遍历完成后，堆中的元素就代表了「出现次数数组」中前 kkk 大的值。

代码实现

Leetcode 官方题解：

class Solution {public:static bool cmp(pair<int, int>& m, pair<int, int>& n) {return m.second > n.second;}vector<int> topKFrequent(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int, int> occurrences;for (auto& v : nums) {occurrences[v]++;}// pair 的第一个元素代表数组的值，第二个元素代表了该值出现的次数priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, decltype(&cmp)> q(cmp);for (auto& [num, count] : occurrences) {if (q.size() == k) {if (q.top().second < count) {q.pop();q.emplace(num, count);}} else {q.emplace(num, count);}}vector<int> ret;while (!q.empty()) {ret.emplace_back(q.top().first);q.pop();}return ret;}
};

复杂度分析

时间复杂度：O(Nlog⁡k)O(N\log k)O(Nlogk)，其中 NNN 为数组的长度。我们首先遍历原数组，并使用哈希表记录出现次数，每个元素需要 O(1)O(1)O(1) 的时间，共需 O(N)O(N)O(N) 的时间。随后，我们遍历「出现次数数组」，由于堆的大小至多为 kkk，因此每次堆操作需要 O(log⁡k)O(\log k)O(logk) 的时间，共需 O(Nlog⁡k)O(N\log k)O(Nlogk) 的时间。二者之和为 O(Nlog⁡k)O(N\log k)O(Nlogk)。
空间复杂度：O(N)O(N)O(N)。哈希表的大小为 O(N)O(N)O(N)，而堆的大小为 O(k)O(k)O(k)，共计为 O(N)O(N)O(N)。

方法三：（改进的）快速排序——即快速选择排序

思路

我们可以使用快速选择算法，求出「出现次数数组」的前 kkk 大的值。

首先我们使用 arr\textit{arr}arr 数组存储每个数字对应的出现次数，然后遍历数组获取出现次数。然后对 arr\textit{arr}arr 数组进行快速排序。

在对数组 arr[l…r]\textit{arr}[l \ldots r]arr[l…r] 做快速排序的过程中，我们首先将数组划分为两个部分 arr[i…q−1]\textit{arr}[i \ldots q-1]arr[i…q−1] 与 arr[q+1…j]\textit{arr}[q+1 \ldots j]arr[q+1…j]，并使得 arr[i…q−1]\textit{arr}[i \ldots q-1]arr[i…q−1] 中的每一个值都不超过 arr[q]\textit{arr}[q]arr[q]，且 arr[q+1…j]\textit{arr}[q+1 \ldots j]arr[q+1…j] 中的每一个值都大于 arr[q]\textit{arr}[q]arr[q]。

于是，我们根据 kkk 与左侧子数组 arr[i…q−1]\textit{arr}[i \ldots q-1]arr[i…q−1] 的长度（为 q−iqq-iqq−iq）的大小关系：

如果 k≤q−ik \le q-ik≤q−i，则数组 arr[l…r]\textit{arr}[l \ldots r]arr[l…r] 前 kkk 大的值，就等于子数组 arr[i…q−1]\textit{arr}[i \ldots q-1]arr[i…q−1] 前 kkk 大的值。
否则，数组 arr[l…r]\textit{arr}[l \ldots r]arr[l…r] 前 kkk 大的值，就等于左侧子数组全部元素，加上右侧子数组 arr[q+1…j]\textit{arr}[q+1 \ldots j]arr[q+1…j] 中前 k−(q−i)k - (q - i)k−(q−i) 大的值。

原版的快速排序算法的平均时间复杂度为 O(Nlog⁡N)O(N\log N)O(NlogN)。我们的算法中，每次只需在其中的一个分支递归即可，因此算法的平均时间复杂度降为 O(N)O(N)O(N)。

代码实现

Leetcode 官方题解：

class Solution {public:void qsort(vector<pair<int, int>>& v, int start, int end, vector<int>& ret, int k) {int picked = rand() % (end - start + 1) + start;swap(v[picked], v[start]);int pivot = v[start].second;int index = start;for (int i = start + 1; i <= end; i++) {if (v[i].second >= pivot) {swap(v[index + 1], v[i]);index++;}}swap(v[start], v[index]);if (k <= index - start) {qsort(v, start, index - 1, ret, k);} else {for (int i = start; i <= index; i++) {ret.push_back(v[i].first);}if (k > index - start + 1) {qsort(v, index + 1, end, ret, k - (index - start + 1));}}}vector<int> topKFrequent(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int, int> occurrences;for (auto& v: nums) {occurrences[v]++;}vector<pair<int, int>> values;for (auto& kv: occurrences) {values.push_back(kv);}vector<int> ret;qsort(values, 0, values.size() - 1, ret, k);return ret;}
};

复杂度分析

时间复杂度：
其中 NNN 为数组的长度。设处理长度为 NNN 的数组的时间复杂度为 f(N)f(N)f(N)。由于处理的过程包括一次遍历和一次子分支的递归，最好情况下，有 f(N)=O(N)+f(N/2)f(N) = O(N) + f(N/2)f(N)=O(N)+f(N/2)，根据主定理，能够得到 f(N)=O(N)f(N) = O(N)f(N)=O(N)。
最坏情况下，每次取的枢轴都位于数组的两端，时间复杂度退化为 O(N2)O(N^2)O(N2)。但由于我们在每次递归的开始会先随机选取中枢元素，故出现最坏情况的概率很低。
平均情况下，时间复杂度为 O(N)O(N)O(N)。

空间复杂度：O(N)O(N)O(N)。其中哈希表的大小为 O(N)O(N)O(N)，用于排序的辅助数组的大小也为 O(N)O(N)O(N)，快速排序的空间复杂度最好情况为 O(log⁡N)O(\log N)O(logN)，最坏情况为 O(N)O(N)O(N)