微积分memo——一元函数积分学
文章目录
- 不定积分
- 三角函数本身
- 含三角函数的不定积分
- 定积分
- 常用公式
- 旋转体体积计算
- 反常积分
- 高斯积分 ∫−∞+∞e−x2dx=π\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi}∫−∞+∞e−x2dx=π
- 广义积分 ∫−∞∞sinxxdx=π\int_{-\infin}^{\infin} \frac{\sin x}{x} dx=\pi∫−∞∞xsinxdx=π
- 敛散性判别
不定积分
三角函数本身
| (tanx)′(\tan x)^{\prime}(tanx)′ | sec2x\sec^{2} xsec2x |
|---|---|
| (secx)′\sec x)^{\prime}secx)′ | tanx⋅secx\tan x \cdot \sec xtanx⋅secx |
| (cotx)′(\cot x)^{\prime}(cotx)′ | −csc2x-\csc^{2} x−csc2x |
| (cscx)′(\csc x)^{\prime}(cscx)′ | cotx⋅cscx\cot x \cdot \csc xcotx⋅cscx |
∫secxdx=∫secx(secx+tanx)secx+tanxdx=∫d(tanx+secx)secx+tanx=ln∣secx+tanx∣+C\int \sec x dx= \int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} d x = \int \frac{d(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \ln |\sec x + \tan x| + C∫secxdx=∫secx+tanxsecx(secx+tanx)dx=∫secx+tanxd(tanx+secx)=ln∣secx+tanx∣+C
∫cscxdx=∫cscx(cscx−cotx)cscx−cotxdx=∫d(cscx−cotx)cscx−cotx=ln∣cscx−cotx∣+C=∫1sinxdx=∫cosx2sinx212cos2x2dx=∫1tanx2dtanx2=ln∣tanx2∣+C\int \csc x dx = \int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} d x = \int \frac{d(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} = \ln |\csc x - \cot x| + C=\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \frac{1}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} d x =\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} d \tan \frac{x}{2} =\ln |\tan \frac{x}{2} |+C∫cscxdx=∫cscx−cotxcscx(cscx−cotx)dx=∫cscx−cotxd(cscx−cotx)=ln∣cscx−cotx∣+C=∫sinx1dx=∫sin2xcos2x2cos22x1dx=∫tan2x1dtan2x=ln∣tan2x∣+C
| (arctanx)′(\arctan x)^{\prime}(arctanx)′ | 11+x2\frac{1}{1+x^{2}}1+x21 |
|---|---|
| (arccotx)′(arc \cot x)^{\prime}(arccotx)′ | −11+x2-\frac{1}{1+x^{2}}−1+x21 |
| (arcsinx)′(\arcsin x)^{\prime}(arcsinx)′ | 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}1−x21 |
| (arccosx)′(\arccos x)^{\prime}(arccosx)′ | −11−x2-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}−1−x21 |
（导数公式证明：(arctanx)′=1tan′(arctanx)=11+tan2(arctanx)=11+x2(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{\tan^{\prime}(\arctan x)}=\frac{1}{1+\tan^{2}(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^{2}}(arctanx)′=tan′(arctanx)1=1+tan2(arctanx)1=1+x21 ，其他应用反函数求导公式，证明类似）
∫aa2+x2dx=arctanxa+C\int \frac{a}{a^{2}+x^{2}} d x=\arctan \frac{x}{a}+C∫a2+x2adx=arctanax+C
∫1a2−x2dx=arcsinxa+C\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{d} x=\arcsin \frac{x}{a}+C∫a2−x21dx=arcsinax+C
由：
∫dxx2−a2⇒x=asecxln∣sect+tant∣+C=ln∣sec(sec−1(x/a))+tan(sec−1(x/a))∣+C=ln∣sec(sec−1(x/a))+sec(sec−1(x/a))−1∣+C=ln∣x+x2−a2∣+C\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} \xRightarrow{x=a\sec x}\ln |\sec t + \tan t| + C = \ln |\sec (\sec^{-1} (x/a)) + \tan (\sec^{-1} (x/a))| + C = \ln |\sec (\sec^{-1} (x/a)) + \sqrt{\sec(\sec^{-1} (x/a))-1}| + C = \ln |x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}| + C∫x2−a2dxx=asecxln∣sect+tant∣+C=ln∣sec(sec−1(x/a))+tan(sec−1(x/a))∣+C=ln∣sec(sec−1(x/a))+sec(sec−1(x/a))−1∣+C=ln∣x+x2−a2∣+C
∫dxx2+a2⇒x=atanxln∣secx+tanx∣+C=ln∣sec(tan−1(x/a))+tan(tan−1(x/a))∣+C=ln∣tan(tan−1(x/a))+1+tan(tan−1(x/a))∣+C=ln∣x+x2+a2∣+C\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}\xRightarrow{x=a\tan x} \ln |\sec x + \tan x| + C = \ln |\sec(\tan^{-1} (x/a)) + \tan(\tan^{-1} (x/a))| + C = \ln |\sqrt{\tan(\tan^{-1} (x/a))+1} + \tan(\tan^{-1} (x/a))| + C = \ln |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C∫x2+a2dxx=atanxln∣secx+tanx∣+C=ln∣sec(tan−1(x/a))+tan(tan−1(x/a))∣+C=ln∣tan(tan−1(x/a))+1+tan(tan−1(x/a))∣+C=ln∣x+x2+a2∣+C
得：
∫dxx2±a2=ln∣x+x2±a2∣+C\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}=\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}|+C∫x2±a2dx=ln∣x+x2±a2∣+C
含三角函数的不定积分
- ∫11+sinθdθ\int \frac{1}{1+\sin \theta d\theta}∫1+sinθdθ1
解法一：
∫11+sinθdθ=∫1−sinθcos2θdθ=∫1cos2θdθ−∫sinθcos2θdθ=tanθ−secθ+C\begin{array}{l} \int \frac{1}{1+\sin \theta} d \theta \\ =\int \frac{1-\sin \theta}{\cos ^{2} \theta} d \theta \\ =\int \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta-\int \frac{\sin \theta}{\cos ^{2} \theta} d \theta \\ =\tan \theta-\sec \theta+C \end{array}∫1+sinθ1dθ=∫cos2θ1−sinθdθ=∫cos2θ1dθ−∫cos2θsinθdθ=tanθ−secθ+C
解法二：
万能代换：tanx2=t,sinx=2t1+t2,cosx=1−t21+t2,dx=21+t2dt\tan \frac{x}{2}=t, \sin x= \frac{2t}{1+t^{2}},\cos x = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},dx=\frac{2}{1+t^{2}}dttan2x=t,sinx=1+t22t,cosx=1+t21−t2,dx=1+t22dt
∫11+sinxdx=∫11+2tanx21+tan2x2dx=∫sec2x2(1+tanx2)2dx=∫2(1+tanx2)2dtan2x2=−2tanx2\int \frac{1}{1+\sin x} dx=\int \frac{1}{1+\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}}dx=\int \frac{\sec^{2}\frac{x}{2}}{(1+\tan \frac{x}{2})^{2}}dx=\int \frac{2}{(1+\tan\frac{x}{2})^{2}}d\tan^{2}\frac{x}{2}=-\frac{2}{\tan\frac{x}{2}}∫1+sinx1dx=∫1+1+tan22x2tan2x1dx=∫(1+tan2x)2sec22xdx=∫(1+tan2x)22dtan22x=−tan2x2
解法三（和万能代换异曲同工）：
∫11+sinxdx=∫1sin2x2+cos2x2+2sinx2cosx2dx=2∫sec2x2tan2x2+2tanx2+1dx2=−21+tanx2+C=21+cotx2+C(上下同除sin2x)\int \frac{1}{1+\sin x}dx=\int \frac{1}{\sin ^{2}\frac{x}{2}+\cos ^{2}\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}dx=2\int \frac{\sec^{2}\frac{x}{2}}{\tan^{2}\frac{x}{2}+2\tan\frac{x}{2}+1}d\frac{x}{2}=-\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}+C=\frac{2}{1+\cot\frac{x}{2}}+C(上下同除\sin ^{2}x)∫1+sinx1dx=∫sin22x+cos22x+2sin2xcos2x1dx=2∫tan22x+2tan2x+1sec22xd2x=−1+tan2x2+C=1+cot2x2+C(上下同除sin2x)
- ∫1(1+sinx)2dx\int \frac{1}{(1+\sin x)^{2}} dx∫(1+sinx)21dx
∫1(1+sinx)2dx=∫dx(sinx2+cosx2)4=14∫dxcos4(x2−π4)=12∫sec2(x2−π4)dtan(x2−π4)=12∫[1+tan2(x2−π4)]dtan(x2−π4)=12[tan(x2−π4)+13tan3(x2−π4)]\begin{array}{l} \int \frac{1}{(1+\sin x)^{2}} dx \\ =\int \frac{dx}{(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})^{4}} \\ =\frac{1}{4} \int \frac{dx}{\cos ^{4}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})} \\ =\frac{1}{2}\int \sec^{2}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})d\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) \\ =\frac{1}{2}\int [1+\tan^{2}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})]d\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) \\ =\frac{1}{2}[\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})+\frac{1}{3}\tan^{3}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})] \end{array}∫(1+sinx)21dx=∫(sin2x+cos2x)4dx=41∫cos4(2x−4π)dx=21∫sec2(2x−4π)dtan(2x−4π)=21∫[1+tan2(2x−4π)]dtan(2x−4π)=21[tan(2x−4π)+31tan3(2x−4π)]
定积分
常用公式
- Wallis 公式（“点火” 公式）
∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx=(n−1)!!n!!H\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}H∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=n!!(n−1)!!H
n 为偶数，H 取 π/2，n 为奇数，H 取 1.
- 区间再现公式
∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx
适合处理包含三角函数的积分问题
- 三角函数积分常用公式
∫0π2f(sinx)dx=∫0π2f(cosx)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx∫02πf(sinx)dx=∫02πf(cosx)dx
∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dx\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx（易从区间再现公式推导）
旋转体体积计算
y1(x),y2(x),x=a,x=b(y2(x)≥y1(x)≥0)y_{1}(x), y_{2}(x), x=a, x=b(y_{2}(x)\ge y_{1}(x)\ge 0)y1(x),y2(x),x=a,x=b(y2(x)≥y1(x)≥0) 围成的区域绕 x 轴旋转一周的旋转体体积
V=π∫ab[y22(x)−y12(x)]dx,a<bV=\pi \int_{a}^{b}\left[y_{2}^{2}(x)-y_{1}^{2}(x)\right] \mathrm{d} x, a<bV=π∫ab[y22(x)−y12(x)]dx,a<by1(x),y2(x),x=a,x=b(y2(x)≥y1(x)b>a≥0)y_{1}(x), y_{2}(x), x=a, x=b(y_{2}(x)\ge y_{1}(x) \quad b>a\ge 0)y1(x),y2(x),x=a,x=b(y2(x)≥y1(x)b>a≥0) 围成的区域绕 y 轴旋转一周的旋转体体积
V=2π∫abx(y2(x)−y1(x))dxV=2 \pi \int_{a}^{b} x\left(y_{2}(x)-y_{1}(x)\right) \mathrm{d} xV=2π∫abx(y2(x)−y1(x))dx
反常积分
高斯积分 ∫−∞+∞e−x2dx=π\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi}∫−∞+∞e−x2dx=π
解法一（极坐标）：
I=∫−∞+∞e−x2dx=2∫0+∞e−x2dx=2AI=\int \limits_{-\infin}^{+\infin}e^{-x^{2}} d x=2\int \limits_{0}^{+\infin}e^{-x^{2}} d x=2AI=−∞∫+∞e−x2dx=20∫+∞e−x2dx=2A
A2=∫0+∞e−x2dx⋅∫0+∞e−y2dy=∬x,y>0e−(x2+y2)dxdy=∫0π2dθ∫0+∞e−ρ2ρdρ=π2(−12e−ρ2)∣0+∞=π4A^{2}=\int\limits_{0}^{+\infin}e^{-x^{2}}dx \cdot \int \limits _{0}^{+\infin}e^{-y^{2}}dy=\iint\limits_{x,y>0}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int\limits_{0}^{+\infin}e^{-\rho^{2}}\rho d\rho = \frac{\pi}{2}(-\frac{1}{2}e^{-\rho^{2}})|_{0}^{+\infin}=\frac{\pi}{4}A2=0∫+∞e−x2dx⋅0∫+∞e−y2dy=x,y>0∬e−(x2+y2)dxdy=0∫2πdθ0∫+∞e−ρ2ρdρ=2π(−21e−ρ2)∣0+∞=4π
I=πI = \sqrt{\pi}I=π
解法二（变量代换、凑微分）：
Let I=∫−∞+∞e−x2dx=2∫0∞e−x2dxI2=4(∫0∞e−x2dx)(∫0∞e−y2dy)=4∫0∞∫0∞e−(x2+y2)dxdy=4∫0∞∫0∞e−x2(1+y2/x2)dxdy,{y/x=udy=xdu=4∫0∞∫0∞e−x2(1+u2)xdxdu=(4)(−12)∫0∞11+u2du∫0∞e−x2(1+u2)d(−x2(1+u2))=−2∫0∞11+u2(e−x2(1+u2))0∞du=2∫0∞du1+u2=(2)(π2)=π∵I>0∴I=π\begin{aligned} &\text {Let } I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x=2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\\ &I^{2}=4\left(\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)\left(\int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}} d y\right)\\ &=4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y\\ &=4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}\left(1+y^{2} / x^{2}\right)} d x d y,\left\{\begin{array}{l} y / x=u \\ d y=x d u \end{array}\right.\\ &=4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}\left(1+u^{2}\right)} x d x d u\\ &=(4)\left(-\frac{1}{2}\right) \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}\left(1+u^{2}\right)} d\left(-x^{2}\left(1+u^{2}\right)\right)\\ &=-2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^{2}}\left(e^{-x^{2}\left(1+u^{2}\right)}\right)_{0}^{\infty} d u\\ &=2 \int_{0}^{\infty} \frac{d u}{1+u^{2}}\\ &=(2)\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\pi\\ &\because I>0\\ &\therefore I=\sqrt{\pi} \end{aligned}Let I=∫−∞+∞e−x2dx=2∫0∞e−x2dxI2=4(∫0∞e−x2dx)(∫0∞e−y2dy)=4∫0∞∫0∞e−(x2+y2)dxdy=4∫0∞∫0∞e−x2(1+y2/x2)dxdy,{y/x=udy=xdu=4∫0∞∫0∞e−x2(1+u2)xdxdu=(4)(−21)∫0∞1+u21du∫0∞e−x2(1+u2)d(−x2(1+u2))=−2∫0∞1+u21(e−x2(1+u2))0∞du=2∫0∞1+u2du=(2)(2π)=π∵I>0∴I=π
更多解法
广义积分 ∫−∞∞sinxxdx=π\int_{-\infin}^{\infin} \frac{\sin x}{x} dx=\pi∫−∞∞xsinxdx=π
利用留数定理：
∫−∞∞sin(x)xdx=Im(∫−∞∞eizzdz)\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} d x=\operatorname{Im}\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i z}}{z} d z\right)∫−∞∞xsin(x)dx=Im(∫−∞∞zeizdz)
函数 xizz\frac{x^{iz}}{z}zxiz 只在实轴上有一个简单极点 z=0z=0z=0 ，故：
∫−∞+∞eizzdz=2πi{0+12Res[eizz,0]}=πilimz→0zeizz=πi\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{e^{iz}}{z}dz=2\pi i\{ 0+\frac{1}{2}Res[\frac{e^{iz}}{z}, 0] \}=\pi i \lim\limits_{z \to 0}z \frac{e^{iz}}{z}=\pi i∫−∞+∞zeizdz=2πi{0+21Res[zeiz,0]}=πiz→0limzzeiz=πi，则：∫−∞∞sinxxdx=π\int_{-\infin}^{\infin} \frac{\sin x}{x} dx=\pi∫−∞∞xsinxdx=π
更多解法
敛散性判别
- 结论一：
∫a+∞dxxlnpx{收敛，当 p>1发散，当 p⩽1\int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x \ln ^{p} x}\left\{\begin{array}{ll} \text { 收敛，} & \text { 当 } p>1 \\ \text { 发散，} & \text { 当 } p \leqslant 1 \end{array}\right.∫a+∞xlnpxdx{ 收敛， 发散， 当 p>1 当 p⩽1
- 结论二：
无穷区间
∫1+∞dxxp{收敛，当 p>1发散，当 p⩽1\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{p}}\left\{\begin{array}{ll} \text { 收敛，} & \text { 当 } p>1 \\ \text { 发散，} & \text { 当 } p \leqslant 1 \end{array}\right.∫1+∞xpdx{ 收敛， 发散， 当 p>1 当 p⩽1
无界函数
∫01dxxp{发散，当 p>1收敛，当 p⩽1\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{p}}\left\{\begin{array}{ll} \text { 发散，} & \text { 当 } p>1 \\ \text { 收敛，} & \text { 当 } p \leqslant 1 \end{array}\right.∫01xpdx{ 发散， 收敛， 当 p>1 当 p⩽1
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