P4568 飞行路线 分层图最短路

分层图最短路

问题模型

求最短路时，可有\(k\)次更改边权（减为0）

思路

在普通求\(Dijkstra\)基础上，\(dis[x][j]\)多开一维\(j\)以存已用了多少次机会，然后每次松弛时，做完普通松弛操作后，还要使用一次机会（如果可以)，类同\(DP\)。

每次普通松弛：

\[ dis[to][j]=min\{dis[cur][j], dis[to][j]\} \]

如果还可以使用（\(j<k\)）：

\[ dis[to][j+1] = min\{dis[cur][j], dis[to][j+1]\} \]

AC Code:

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>
#define MAXN 10010
#define MAXK 11
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
using namespace std;
int n,m,k,s,e;
bool vis[MAXN][MAXK];
struct edge{int v,w;edge(int v, int w):v(v),w(w){}
};
vector <edge> mp[MAXN];
struct item{int dis, k, v;item(int dis, int k, int v):dis(dis), k(k), v(v){}bool operator < (const item a) const{return dis > a.dis;}
};
int dis[MAXN][MAXK];
priority_queue <item> q;
void Dij(){memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));dis[s][0]=0;q.push(item(0,0,s));while(!q.empty()){item cur = q.top();q.pop();if(vis[cur.v][cur.k]) continue;vis[cur.v][cur.k] = 1;for(register int i=0;i<mp[cur.v].size();++i){int v = mp[cur.v][i].v, w = mp[cur.v][i].w;if(cur.k<k&&!vis[v][cur.k+1]&&dis[v][cur.k+1]>dis[cur.v][cur.k]){ // 使用机会dis[v][cur.k+1] = dis[cur.v][cur.k];q.push(item(dis[v][cur.k+1], cur.k+1, v));}if(!vis[v][cur.k]&&dis[v][cur.k]>dis[cur.v][cur.k]+w){ // 普通松弛dis[v][cur.k] = dis[cur.v][cur.k]+w;q.push(item(dis[v][cur.k], cur.k, v));}}}
}
int main()
{scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &k, &s, &e),s++,e++;for(int i=1;i<=m;++i){int a,b,c;scanf("%d %d %d", &a, &b, &c),++a,++b;mp[a].push_back(edge(b,c));mp[b].push_back(edge(a,c));}Dij();int ans=0x3ffffff;for(int i=0;i<=k;++i)ans = MIN(ans, dis[e][i]); // 遍历统计答案，机会不一定用完printf("%d", ans);return 0;
}