A/B HDU - 1576 （逆元或拓展欧几里得或数学公式）多解法求大数结果

题意：求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

思维：（1）逆元+扩展欧几里得算法：满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。当且仅当gcd(k,p) = 1,如果可逆则可定义除法 x/k = x * a mod p

（2）扩展欧几里得算法+递推公式:运用扩展欧几里德算法能解出gcd(a,b)=a*x1+b*y1的x1和y1的值。

（3）数学思维解法：推等式+枚举某数让等式成立。

（4）费马小定理；

题目：

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input

2
1000 53
87 123456789

Sample Output

7922
6060

AC代码

逆元：为什么要有乘法逆元呢？当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。 (A/B)%9973，但由于A很大且gcd(B,9973) = 1)，所以我们可以求B的逆元然后 k*B = 1 mod n 然后改写式子 (A/B)%9973 = A % 9973 * k%9973 B的逆元就用扩展欧几里德解 k*B = 1 mod n --> k*B + m*n = 1;

#include<iostream>/**逆元+拓展欧几里得*/
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 Exgcd(int64 a,int64 b,int64 &x,int64 &y)
{if(b == 0){x = 1,y = 0;return a;}else{int64 r = Exgcd(b,a%b,x,y);int64 temp = x;x = y, y = temp - a/b*y;return r;}
}
int main()
{int t;int64 n,b = 9973,B,x,y;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%I64d%I64d",&n,&B);int64 d = Exgcd(B,b,x,y);b = b / d;x = x / d ;x = (x % b + b) % b;/*求a最小正整数逆元x=x0+(a/gcd)*t*/printf("%I64d\n",(n%9973 * x%9973)%9973);/*x为n的逆元*/}return 0;
}

拓展欧几里得：

根据题目我们知道： n=A%9973，则n=A-A/9973*9973。又A/B=x，则A=Bx。所以Bx-A/9973*9973=n。即Bx-9973y=n。在这里我们知道只要求出x的值就能算出x%9973的值，也就是(A/B)%9973的值。利用扩展欧几里德算法可求出gcd(B,9973)=Bx1+9973y1=1的x1。题中说gcd(B,9973)=1；所以等式两边同乘以n，得B(n*x1)-9973(-n*y1)=n。可知n*x1就是B*x-9973*y=n的解了！！！即x=n*x1。在扩展欧几里得算法中得到的x可能为负值，所以还需要x=(x%9973+9973)%9973。

#include<cstdio>/**推等式+拓展欧几里得*/
#include<cstring>
void extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return ;}else{extgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;}
}int main()
{int t,n,b,x,y;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&n,&b);extgcd(b,9973,x,y);x*=n;x=(x%9973+9973)%9973;printf("%d\n",x);}return 0;
}

数学思维解法：

思路：设X=（A/B）%9973 因为n=A%9973，所以A=k*9973+n (k为一常数) 又因为X=（A/B）%9973，所以A/B=d*9973+X （d为一常数）两边同乘以B，得：A=B*d*9973+B*X 即B*d*9973+B*X=k*9973+n 移项得： B*d*9973+B*X-n=k*9973 所以题意转为只要满足（B*X-n）%9973=0，X即为要求的结果。n的值知道，B的值知道，又因为x的取值范围是0到9972，因此枚举x的值即可，满足条件的就是答案。

#include<cstdio>/**推等式+枚举某数让等式成立*/
int main()
{int n,a,i,t;long long b;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%lld",&n,&b);for(i=0;i<9973;++i){if((b*i-n)%9973==0)break;}printf("%d\n",i);}return 0;
}

（4）费马小定理：（易知费马定理是有限制的：a与p要互质）

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t;
ll n,m;
const int mod=9973;
int quickpow(ll a,ll b){ll ans=1;a%=mod;while(b){if(b&1) ans=ans*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return ans;
}
int main(){cin>>t;while(t--){cin>>n>>m;//cout<<"******"<<endl;cout<<n*quickpow(m,mod-2)%mod<<endl;}return 0;
}
//费马小定理