拓展欧几里得定理的应用

扩展欧几里得定理的运用
首先，先重复一下拓展欧几里得的内容：
对于不全为 0 的整数a、b，一定存在一组解 x，y，使得 ax + by == gcd(a,b)

先说一下这个定理的三个用处（但是小细节点和式子的变形式功能下面再说）
1.求解不定方程
2.求解线性同余方程
3.求解模的逆元

1.求解表达式 = 特解 + 通解
已知有：ax + by = gcd
ax/gcd + by/gcd = 1
acx/gcd + bxy/gcd = c

设 X = xc/gcd Y = yc/gcd
就有了 aX + bY = c （c%gcd == 0）
这样新的式子就有了

我们求 ax + by = d 的一组解为 (x₀,y₀)
就有 X = x₀ + k*b/gcd 成立，对于 Y 同理（下面那日内容会讲）

所以 (x₀，y₀)，为特解，通解为后面的部分
这样就可以求方程 ax + by = d 的所有解了
当然, x₀，y₀ 为最小正整数解
当 a,b 互质时，x₀,y₀ 是一正一负最小值解

2.模线性方程 ax = b (mod n) 求解
ax = b (mod n) 等价于 ax + ny = b (mod n)
这样就可以利用上面的方法对其进行处理，就可以解出相应的x，y值，这里可能只需要x值就可
注意：x值可能为负，所以对 n 取模需要处理 (x + n)%n = x 这样就满足题意

模板题：https://www.luogu.com.cn/
P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程
其他题目推导中间可能会需要用到，知道就好

3.用欧几里德算法求模的逆元ax=1 (mod n)
相信大家也都看出来了，其实求逆元就是求解模线性方程ax≡b (mod n)的一种特殊情况.
当b=1时，同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n )。

这时要求a与n必须互质，即gcd(a,n)= 1。因为当gcd(a , n) != 1 的时候是没有解的，这也是 ax + by = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程ax+ ny= 1，x, y 为整数。

这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

4.其他的小功能（公式推导中会用到）
对于其他功能就多是展开式或变形式，多用于数论题目的推导之中，难点就是数学公式的证明和推导
当然，接下来呢就是，存在一组解满足，一定会有其他的解
如果，ax + by = gcd(a,b) = d，则一定可以满足 x，y为自己的某一个倍数，使得 d|(ax + by) 。（最后面的这个式子表示ax + by 的值能被 d 整除）
上面的意思就是，ax + by 这个拓展定理不仅仅可以求等于 gcd 时，x，y的值，也可以表示有某个x，y 使得 ax₁ + by₁ = kd（x₁ = kx，y₁ = ky）

然后根据上面的内容延伸一下，拓展定理还能干什么？
当a，b互质的时候，gcd(a,b) = 1;
则，ax + by = 1（x，y不同时大于零，即 x < 0 或 y < 0）
这样首先 (ax + by)k 这个式子是不是就可以表示所有的数了，这是延伸的第一点
然后呢 ax + by = 1 你想一想，x，y肯定有一个值小于 0，但x，y的值并不固定
你可以想一下，对于二元一次方程 ax + by 来说，x，y随便取值，一定还多组解满足其等于 1
于是就有了这样的推理：
使用exgcd 求出 ax + by = 1 的一组最小解，(x₀,y₀)，x₀ 或 y₀ < 0
（下面内容先表示a，b不互质的情况，互质时仍然满足）
ax₀ + by₀ = d
gcd(a,b) = d
就有 a(x₀ + b/dk) + b(y₀ - a/dk) = d （为了满足任意d值，k为任意值）
所以就有了 x = x₀ + b/dk，y = y₀ - a/d*k
这样是不是满足有多组x_i，y_i解使得exgcd(a,b) = d 成立

对于a，b互质这种情况来说，ax + by = 1，无论x，y取何值，都存在x 或 y < 0

然后下一个延伸就是 ax + by = d 的通式，d的倍数均成立，就是上面写的内容

例题：https://www.luogu.com.cn/
P3951小凯的疑惑
例题：https://www.luogu.com.cn/
P1516 青蛙的约会

数论导图（中等）

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