线性方程组与矩阵的秩

前置知识：

【定义】线性方程组
线性方程组的矩阵形式

设有 n n n 个未知数 m m m 个方程的线性方程组
{ a 11 x a + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x a + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 1 ⋯ a m 1 x a + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b 1 (1) \left\{ \begin{align*} & a_{11} x_a + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ & a_{21} x_a + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_1 \\ & \cdots \\ & a_{m1} x_a + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_1 \\ \end{align*} \right. \tag{1} ⎩ ⎨ ⎧a11xa+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21xa+a22x2+⋯+a2nxn=b1⋯am1xa+am2x2+⋯+amnxn=b1(1)
上式可以写成以向量 x \boldsymbol{x} x 为未知元的向量方程
A x = b (2) \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \tag{2} Ax=b(2)
定义 1　线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容。

利用系数矩阵 A \boldsymbol{A} A 和增广矩阵 B = ( A , b ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) B=(A,b) 的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解（即是否相容）以及有解时解是否唯一等问题，有定理和证明如下：

定理 2　 n n n 阶线性方程组 A x = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} Ax=b

(1) 无解的充分必要条件是 R ( A ) < R ( A , b ) R(\boldsymbol{A}) < R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) R(A)<R(A,b)；

(2) 有唯一解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) = n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) = n R(A)=R(A,b)=n；

(3) 有无限多解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) < n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) < n R(A)=R(A,b)<n。

证明　因为无解、有唯一解和有无限多解这 3 种情况涵盖了所有解的所有可能。所以 1 的必要性，是 2 和 3 的充分性的逆否命题；2 的必要性，是 1 和 3 的充分性的逆否命题；3 的必要性，是 1 和 2 的充分性的逆否命题。因此，只需要以此证明这 3 个条件的充分性即可。

设 R ( A ) = r R(\boldsymbol{A}) = r R(A)=r。不妨设 B = ( A , b ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) B=(A,b) 的行最简形矩阵为
B ~ = ( 1 0 ⋯ 0 b 11 ⋯ b 1 , n − r d 1 0 1 ⋯ 0 b 21 ⋯ b 2 , n − r d 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 b r 1 ⋯ b r , n − r d r 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 d r + 1 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 ) \tilde{\boldsymbol{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1,n-r} & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2,n-r} & d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r,n-r} & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} B~=⎝ ⎛10⋮000⋮001⋮000⋮0⋯⋯⋯⋯⋯⋯00⋮100⋮0b11b21⋮br100⋮0⋯⋯⋯⋯⋯⋯b1,n−rb2,n−r⋮br,n−r00⋮0d1d2⋮drdr+10⋮0⎠ ⎞

(1) 若 R ( A ) < R ( B ) R(\boldsymbol{A}) < R(\boldsymbol{B}) R(A)<R(B)，则 B ~ \tilde{\boldsymbol{B}} B~ 中的 d r + 1 = 1 d_{r+1} = 1 dr+1=1，于是 B ~ \tilde{\boldsymbol{B}} B~ 的第 r + 1 r+1 r+1 行对应矛盾方程 0 = 1 0=1 0=1，故方程 ( 2 ) (2) (2) 无解。

(2) 若 R ( A ) = R ( B ) = n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = n R(A)=R(B)=n，则行最简形矩阵 B ~ \tilde{\boldsymbol{B}} B~ 中 n n n 个非零行的首非零元对应的未知数均不是自由未知数，故方程 ( 2 ) (2) (2) 有唯一解。

(3) 若 R ( A ) = R ( B ) = r < n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = r < n R(A)=R(B)=r<n，则行最简形矩阵 B ~ \tilde{\boldsymbol{B}} B~ 中 r r r 个非零行的首非零元对应的未知数不是自由未知数，而其余 n − r n-r n−r 个未知数均为自由未知数，故方程 ( 2 ) (2) (2) 有无穷多解。

根据定理 2，可得线性方程组理论中两个最基本的定理，分别是

定理 3　 n n n 元齐次线性方程组 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 有非零解的充分必要条件是 R ( A ) < n R(\boldsymbol{A}) < n R(A)<n。

证明　因为 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0 Ax=0，所以 R ( A ) = R ( B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) R(A)=R(B)。

证明充分性。当 R ( A ) = R ( B ) < n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) < n R(A)=R(B)<n 时，根据定理 2 (3)，方程组有无限多解，其中自然也包括非零解。

证明必要性。当 R ( A ) = R ( B ) = n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = n R(A)=R(B)=n 时，只有唯一的零解。因此，若 A x = 0 \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} Ax=0 有非零解，则 R ( A ) = R ( B ) < n R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) < n R(A)=R(B)<n。

定理 4　线性方程组 A x = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} Ax=b 有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) R(A)=R(A,b)。

证明　定理 4 为定理 2 (1) 的逆否命题，得证。

将定理 4 推广到矩阵方程，得到定理和证明如下：

定理 5　矩阵方程 A X = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b} AX=b 有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(A,B)。

证明　设 A \boldsymbol{A} A 为 m × n m \times n m×n 矩阵， B \boldsymbol{B} B 为 m × l m \times l m×l 矩阵，则 X \boldsymbol{X} X 为 n × l n \times l n×l 矩阵。把 X \boldsymbol{X} X 和 B \boldsymbol{B} B 按列分块，记为
X = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x l ) , B = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) \boldsymbol{X} = (\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_l), \hspace{1em} \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) X=(x1,x2,⋯,xl),B=(b1,b2,⋯,bl)
则矩阵方程 A X = B \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{B} AX=B 等价于 l l l 个向量方程
A x i = b i ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{b}_i \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,l) Axi=bi(i=1,2,⋯,l)
又，设 R ( A ) = r R(\boldsymbol{A}) = r R(A)=r，且 A \boldsymbol{A} A 的行最简形矩阵为 A ~ \tilde{\boldsymbol{A}} A~，有 A ~ \tilde{\boldsymbol{A}} A~ 有 r r r 的非零行，且 A ~ \tilde{\boldsymbol{A}} A~ 的后 m − r m-r m−r 行全为零行。再设
( A , B ) = ( A , b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) ∼ r ( A ~ , b ~ 1 , b ~ 2 , ⋯ , b ~ l ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) \stackrel{r}{\sim} (\tilde{\boldsymbol{A}},\tilde{\boldsymbol{b}}_1,\tilde{\boldsymbol{b}}_2,\cdots,\tilde{\boldsymbol{b}}_l) (A,B)=(A,b1,b2,⋯,bl)∼r(A~,b~1,b~2,⋯,b~l)
从而
( A , b i ) ∼ r ( A ~ , b ~ i ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}_i) \stackrel{r}{\sim} (\tilde{\boldsymbol{A}},\tilde{\boldsymbol{b}}_i) \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,l) (A,bi)∼r(A~,b~i)(i=1,2,⋯,l)
依据上述讨论，有如下推论过程：

根据上述讨论： A X = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b} AX=b ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A x i = b i \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{b}_i Axi=bi 有解（ i = 1 , 2 , ⋯ , l i=1,2,\cdots,l i=1,2,⋯,l）

根据定理 4： A x i = b i \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{b}_i Axi=bi 有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) = R ( A , b i ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}_i) R(A)=R(A,bi)（ i = 1 , 2 , ⋯ , l i=1,2,\cdots,l i=1,2,⋯,l）

R ( A ) = R ( A , b i ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}_i) R(A)=R(A,bi) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ b ~ i \tilde{\boldsymbol{b}}_i b~i 的后 m − r m-r m−r 个元全为零（ i = 1 , 2 , ⋯ , l i=1,2,\cdots,l i=1,2,⋯,l）

b ~ i \tilde{\boldsymbol{b}}_i b~i 的后 m − r m-r m−r 个元全为零 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ( b ~ 1 , b ~ 2 , ⋯ , b ~ l ) (\tilde{\boldsymbol{b}}_1,\tilde{\boldsymbol{b}}_2,\cdots,\tilde{\boldsymbol{b}}_l) (b~1,b~2,⋯,b~l) 的后 m − r m-r m−r 行全为零行（ i = 1 , 2 , ⋯ , l i=1,2,\cdots,l i=1,2,⋯,l）

( b ~ 1 , b ~ 2 , ⋯ , b ~ l ) (\tilde{\boldsymbol{b}}_1,\tilde{\boldsymbol{b}}_2,\cdots,\tilde{\boldsymbol{b}}_l) (b~1,b~2,⋯,b~l) 的后 m − r m-r m−r 行全为零行 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A , B ) = R ( A ) R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{A}) R(A,B)=R(A)（ i = 1 , 2 , ⋯ , l i=1,2,\cdots,l i=1,2,⋯,l）

综上所述： A X = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b} AX=b ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A , B ) = R ( A ) R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{A}) R(A,B)=R(A)。

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