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在开始今天的正式内容之前，先补充一个创建矩阵的方法——由向量组合成矩阵。A=[1;2;3]，B=A+3，C=B+3，A, B, C 均为列向量，矩阵D由向量A， B，C 构成，D=[A B C]，则D是一个3x3的矩阵。示例如下：

矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵中线性无关的行向量的数目。在matlab中求矩阵的秩用rank()命令，如：求前述矩阵D的秩，通过观察的方法，矩阵的第三行减去第二行后都为1，第二行减去第一行后都为1。此时，矩阵的第二行和第三行都为1，两行线性相关可以消除其中一行，观察可知矩阵的的秩为2，下面用matlab 验证一下。示例如下：

下面我们来随机生成一个矩阵E并求rank(E)。示例如下：

矩阵E的秩为5，说明矩阵E的各行均线性无关。

下面我们对矩阵E做一个简单的改造，将矩阵E的第五行换成第一行和第二行的和，此时矩阵E的第五行就可以用第一行和第二行线性表示了，即第五行可以通过行变换化为全零，此时rank(E)应该等于4。在matlab中验证一下：

简化梯形矩阵

在笔算求矩阵的秩时，通常都会对矩阵做梯形简化，方便观察矩阵的秩，在解线性方程组时也会做这样的简化。matlab中使用rref()命令来获得简化梯形矩阵。示例如下：

通过简化后的梯形矩阵，很容易就能观察到矩阵D的秩为2。

再来看看矩阵E，示例如下：

通过简化后的梯形矩阵，很容易就能观察到矩阵E的秩为4。此处默认将非零行的第一个非零元素化为1，所以后面出现了实数。

线性方程组

有了前面内容的铺垫，现在可以很方便的求解线性方程组的解了，并观察解的性质。给定如下方程组：

将方程组的系数矩阵记作M， 等式右边的向量记作b。则：

看看系数矩阵M的秩：

rank(M)=2，满秩，说明方程组有唯一解。通过消元法，可以很容易解得x1=2，x2=5，这个在中学就学习过。

这里从线性代数的角度来求解这个方程组，一是Cramer 法则求解，二是高斯消元法，分述如下：

1. Cramer 法则：

首先计算系数矩阵的行列式detM；再用向量b替换M的第一列，并计算其行列式detM1，则 x1=detM1/detM; 同理，用b替换M的第二列，计算detM2，则 x2=detM2/detM。下面，在matlab中完成上述计算过程并验证结果。

如上图所示，x1=2，x2=5，结果与笔算一样。这里举例用了二元方程组，对于变量个数多余2的时候，matlab的简便性就更突出了。

2. 高斯消元法

高斯消元法是将系数矩阵M和列向量b组合在一起，做行变换得到简化梯形矩阵，再求解。仍然用上面的方程组做实验：

令：Mb=[M b]

经过梯形简化后，方程组变为如下形式：

一眼就能观察出来，x1=2，x2=5。比高斯消元法还要简单。

再补充一个三元线性方程组：

系数矩阵仍记作M，等式右边的向量记作b。

先计算rank(M):

rank(M)=3，满秩，方程组有唯一解。

先用Cramer 法则求解：

计算各个行列式的值：

计算x1，x2，x3的值：

再看看高斯消元法求解：

经过梯形简化后，方程组变为如下形式：

可以很方便的得到 x1=8，x2=15，x3=6。

解线性方程组是科学计算中的一个很重要很基本的部分，除了上面介绍的方法，关于线性方程组的解法还有很多种，后面会陆续介绍。对于那些不是线性的方程组，在经过简化后，也可以化作线性方程组来求解。所以，线性方程组的解法是科学计算的一个基石。

这么简单实用的工具，不来用一下吗！

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