保研复习——线性代数3：矩阵的秩与线性方程组

2024-05-15 04:49:31

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矩阵的秩与线性方程组

1.矩阵秩的概念

在m×n阶矩阵A中，任意取定k行l列位于这些行列交叉处的k×l个元按原来相对顺序构成的矩阵称为矩阵A的k×l子矩阵；当k=l时，此子矩阵称为k阶方阵，其行列式称为矩阵A的一个k阶子式。

如果在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，而所有r+1阶子式（如果存在的话）全为0，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)，规定零矩阵的秩为0. A的秩R(A)就是矩阵A中不等于0的子式的最高阶数。

可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵。

行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的行数。

初等矩阵不改变矩阵的秩。

2.矩阵秩的性质（需熟练掌握）

3.线性方程组解的判定

定理：n元线性方程组Ax=b

（1）有解的充要条件是R(A)=R(\(\widetilde{A}\));

（2）有唯一解的充要条件是R(A)=R(\(\widetilde{A}\))=n；

（3）有无穷多个解的充要条件是R(A)=R(\(\widetilde{A}\))＜n.

⇒ 定理：n元齐次线性方程组Ax=O有非零解的充要条件是它的系数矩阵A的秩R(A)＜n.

⇒ 推论：n个方程的n元齐次线性方程组Ax=O有非零解的充要条件是|A|=0.

解线性方程组：自由未知量个数=未知数个数－方程个数

4.分块矩阵的初等变换

本部分内容属于线代进阶部分，计算较为复杂（保研面试过程中被问到的概率较小），有兴趣可参考分块矩阵的初等变换及应用（分享自百度文库）。

5.应用举例

交通流量分析
化学方程式配平
电路求解（KCL/KVL）

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