【定义】向量与向量组

前置知识：

【定义】矩阵
线性方程组与矩阵的秩

前置定理 1　线性方程组 A x = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} Ax=b 有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) R(A)=R(A,b)。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

前置定理 2　矩阵方程 A X = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b} AX=b 有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(A,B)。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

1 向量和向量空间

定义 1（向量）　 n n n 个有次序的数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an 所组成的数组称为 n n n 维向量，这 n n n 个数称为该向量的 n n n 个分量，第 i i i 个数 a i a_i ai 称为第 i i i 个分量。

定义 2　分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。

n n n 维向量可以写成一行，称为行向量，也可以写成一列，称为列向量；规定行向量和列向量都按照矩阵的运算规则进行运算。因此 n n n 维行向量和 n n n 维度列向量总看作是两个不同的向量。

定义 3（向量空间）　 n n n 维向量的全体所组成的集合
R n = { x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∣ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ R } \R^n = \{\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n)^T \ | \ x_1,x_2,\cdots,x_n \in \R \} Rn={x=(x1,x2,⋯,xn)T ∣ x1,x2,⋯,xn∈R}
叫做 n n n 维向量空间。 n n n 维向量的集合
{ x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∣ a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ a n x n = b } \{ \boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n)^T \ | \ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n = b\} {x=(x1,x2,⋯,xn)T ∣ a1x1+a2x2+⋯anxn=b}
叫做 n n n 维向量空间 R n \R^n Rn 中的 n − 1 n-1 n−1 维超平面。

2 向量组、线性组合

定义 4（向量组）　若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。

定义 5（线性组合）　给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am，对于任何一组实数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km，表达式
k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ k m a m k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m k1a1+k2a2+⋯kmam
称为向量组 A A A 的一个线性组合， k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km 称为这个线性组合的系数。

定义 6（线性表示）　给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 和向量 b \boldsymbol{b} b，如果存在一组数 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m λ1,λ2,⋯,λm，使
b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ⋯ λ m a m \boldsymbol{b} = \lambda_1 \boldsymbol{a}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots \lambda_m \boldsymbol{a}_m b=λ1a1+λ2a2+⋯λmam
则向量 b \boldsymbol{b} b 是向量组 A A A 的线性组合，这时称向量 b \boldsymbol{b} b 能由向量组 A A A 线性表示。

关于线性组合，有定理和证明如下：

定理 1　向量 b \boldsymbol{b} b 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am) 的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}) B=(a1,a2,⋯,am,b) 的秩。

证明　向量 b \boldsymbol{b} b 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性表示，等价于方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ x m a m = b x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{b} x1a1+x2a2+⋯xmam=b 有解。根据前置定理 1 可知，方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ x m a m = b x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{b} x1a1+x2a2+⋯xmam=b 有解的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am) 的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}) B=(a1,a2,⋯,am,b) 的秩。得证。

3 向量组等价

定义 7（向量组等价）　设有两个向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 及 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1,b2,⋯,bl，若 B B B 组中的每个向量都能由向量组 A A A 线性表示，则称向量组 B B B 能由向量组 A A A 线性表示。若向量组 A A A 与向量组 B B B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价。

关于向量组等价，有定理和证明如下：

定理 2　向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1,b2,⋯,bl 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am) 的秩等于矩阵 ( A , B ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) (A,B)=(a1,a2,⋯,am,b1,b2,⋯,bl) 的秩，即 R ( A ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(A,B)。

证明　向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1,b2,⋯,bl 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性表示，等价于存在矩阵 K m × l \boldsymbol{K}_{m \times l} Km×l 使 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) K (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{K} (b1,b2,⋯,bl)=(a1,a2,⋯,am)K，即矩阵方程
( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) K = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{K} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) (a1,a2,⋯,am)K=(b1,b2,⋯,bl)
有解。根据前置定理 2 可知，矩阵方程 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) K = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{K} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) (a1,a2,⋯,am)K=(b1,b2,⋯,bl) 有解的充分必要条件矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am) 的秩等于矩阵 ( A , B ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) (A,B)=(a1,a2,⋯,am,b1,b2,⋯,bl) 的秩，即 R ( A ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(A,B)。得证。

由定理 2，可得推论和证明如下：

推论　向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 与向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1,b2,⋯,bl 等价的充分必要条件是
R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(B)=R(A,B)
其中 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 是向量组 A A A 和 B B B 所构成的矩阵。

证明　根据向量组等价的定义，有：向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 与向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1,b2,⋯,bl 等价 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 A A A 和向量组 B B B 能互相线性表示。

根据定理 2，有：向量组 A A A 和向量组 B B B 能互相线性表示 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(A,B) 且 R ( B ) = R ( B , A ) R(\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{B},\boldsymbol{A}) R(B)=R(B,A)。

因为 R ( A , B ) = R ( B , A ) R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{B},\boldsymbol{A}) R(A,B)=R(B,A)，所以有： R ( A ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(A,B) 且 R ( B ) = R ( B , A ) R(\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{B},\boldsymbol{A}) R(B)=R(B,A) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(B)=R(A,B)。

综上所述，得证。

定理 3　设向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1,b2,⋯,bl 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1,a2,⋯,am 线性表示，则 R ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) ≤ R ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) R(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) \le R(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) R(b1,b2,⋯,bl)≤R(a1,a2,⋯,am)。

证明　记 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am)， B = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) B=(b1,b2,⋯,bl)。根据定理 2，有 R ( A ) = R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)=R(A,B)，而 R ( B ) ≤ R ( A , B ) R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(B)≤R(A,B)，因此 R ( B ) ≤ R ( A ) R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) R(B)≤R(A)。得证。