终于不用住公司了，虽然不会像之前更新的那么连贯、快。上接《傅里叶级数》。

这一系列前面几篇中，虽然我不记得是哪集篇了，经常提到对称矩阵的特征值一定是实数，然后一直没证明过。虽然Gelbert在这一课中也只是大略的说了下证明(不够完整，很大一部分没有证明)，然后随随便便带过了谱定理也就是主轴定理。只好我自己杜撰点。

矩阵的特征值和特征向量可以一定程度上反应矩阵的特性，如马尔科夫矩阵有一个特征值是1。长话短说，对称阵有两个性质：

一、特征值一定是实数；

二、一定可以找出一对正交(也就是垂直)的特征向量。

参考《线性代数(Gelbert)---特征向量》结尾处，以及方程组求解(如2、3、4次方程求根公式)可以看出对于对称矩阵，如果特征值是复数，那一定是共轭的特征值成对儿出现(如果看不出来，可以找我讨论)。特征值既然共轭，那特征向量一定也共轭(代入特征值很明显)：

Ax = λx

λ^* = conjugate(λ) 的 x 为 x^*= conjugate(x)，证明的思路就是把λ和λ^*建立联系，然后证明它们相等。为了建立联系，先在等式两端同乘x^*T :

x^*TAx = x^*Tλx

因为共轭：

Ax^* = λ^*x^*

对x^*A转置：

(Ax^*)^T = (x^*)^TA^T

由于是对称矩阵，有A = A^T：

(x^*)^TA^T = x^*TA = (λ^*x^*)^T = λ^*x^*T

于是：

x^*TAx = λ^* x^*Tx = x^*Tλx

可以发现如果x^*Tx不为0，则λ^* = λ，一个数的共轭等于自身，那么它的虚部只能为0，所以λ是实数。

现在，需要证明x^*Tx不为0。如果每个x分量的实部为a，虚部为b，由于特征向量不能是零向量，所以 a ≠ 0 且 b ≠ 0。

(a + bi)(a - bi) = a² - i²×b² = a² + b²

很明显a² + b² > 0，所以所有对应分量与它的共轭转置相乘的和一定大于0。然后证明第二个性质，证明方法类似。

Ax_a = λ_ax_a

Ax_b = λ_bx_b

有两个不同方向的特征向量：x_a、x_b，对应的特征值分别为：λ_a、λ_b。要证明x_a和x_b垂直，就是说 x_ax_b^T = 0。思路是一样的，先联系到一起。

x_b^TAx_a = x_b^Tλ_ax_a

(Ax_b)^T = x_b^TA^T = x_b^TA = λ_bx_b^T

x_b^TAx_a = λ_bx_b^Tx_a = λ_ax_b^Tx_a

由于 λ_a ≠ λ_b，所以 x_b^Tx_a = 0。

这两证明都是在A是实矩阵的情况下，如果A是复矩阵，那就不是 A^T，而是 A^*T了，这一点暂时先不证明，不过参考《特征向量》可以大概看出，A的转置就是变了个正负号。如果是复数，转置以后变号特征向量和没变一样，如果特征向量想变成共轭的那个，矩阵转置以后也得共轭才行。

既然都到这一篇了，讲对称阵，肯定是说线性无关的，那这个对称阵就一定可以对角化(《矩阵的幂》)：

A = S∧S^-1

而且已经证明了S中所有的基之间都是正交的，对于S中的某个基向量x：

Ax = λx

通过 《正交基标准化》中介绍过的标准化的方法，两边的x都可以化为标准正交基，那么提出来的系数也相同，于是系数约掉了，也就是说特征矩阵中的正交基一定可以转化为标准正交基，那么S也就可以使用Q替代。虽说有些画蛇添足，但是不这么来一下总觉得差点啥，如果有问题依然是找我讨论下最好。严谨的证明方法，其实也是有的，只是涉及到了很多课里还没讲的概念，我在结尾列一下，有兴趣的自己查查就好了，不知道Gelbert后面会不会讲。

由于S中的向量都可以化为标准正交基，S就可以是正交矩阵了，于是：

A = Q∧Q^-1

可逆矩阵转置的逆等于逆的转置：

(AA^-1)^T = (A^-1)^TA^T = I   => (A^-1)^T = (A^T)^-1

Q^T = Q^-1

A = Q∧Q^-1 = Q∧Q^T

对称矩阵等于其转置，分解以后也一样：

(Q∧Q^T)^T = Q∧Q^T

Gelberts说：对称矩阵一定能分解成A = Q∧Q^T这样的形式，即正交矩阵乘以对角矩阵乘以正交矩阵的转置，这在数学上称为谱定理，谱(spectrum)就是指矩阵的特征值集合。在力学上，这常称为主轴定理，他没事儿就讲物理。

谱定理还可以用另一种形式表达：

《矩阵的幂》中有过相似的分解过程。其中的 λ_nq_nq_n^T，可以与《正交》讲到的投影矩阵P = (aa^T)/(a^Ta)对比一下。能发现只是由于a换成q后，q^Tq = 1就只剩下qq^T了，这一组分解就变成每个特征值的投影的集合了。另外，还是qq^T个单元阵，无论几次方都还是自己。总觉得好像在哪篇里提到过相关的内容，不过想不起来了。

对称矩阵正负主元个数与正负特征值个数分别相等：惯性定律，就不证明了，又牵扯好多概念。Gelbert说可以应用于求特征值，比如移动7个单位，再看看有多少个正负主元什么的。

对称矩阵还有一个很出名的子类，主元全是正数的，叫正定矩阵。既然主元都是正的，特征是肯定也都是正的，那么子行列式也都是正的，这三个条件等价，看上去这是后续课程的内容，我就不发散了。

以下发散一下，前边说的不知道课上会不会讲的内容，就是列一些概念，大部分都是抄来的，最后一段干脆就是百度上贴过来的：

谱定理提供了一个算子所作用的向量空间的标准分解，称为谱分解，特征值分解，或者特征分解。在代数上，主轴定理是完全平方公式的泛化。在线性代数和泛函分析中，它是谱定理的几何等价物。

和牛顿第一定律同名的惯性定律，还有合同定理，细节不说了，估计是因为涉及二次型的原因，Gelbert并没有提到。包括 Hermitian 矩阵(共轭转置的对称)，酉矩阵(酉矩阵U : UU* = I)，至于正交变换算不算讲了有点闹不清楚，其实应该算是讲了。我相信这里很多内容他的教材里都有，只是课上没讲。

酉空间(unitary linear space)是一种特殊的复线性空间。指以一类埃尔米特函数作内积的复线性空间。设V是复数域C上的线性空间，J是C的(共轭)自同构：(a+bi)J=a-bi。若在V上定义了一个关于J的埃尔米特函数，并且对任意α∈V，内积(α，α)≥0及(α，α)=0 当且仅当α=0，则称V为酉空间。n维酉空间U中总存在标准正交基。对U的任一线性变换σ，都存在它的共轭变换σ*。若以A，B分别表示σ与σ*关于给定基的矩阵，则A=G′-1B-′G′，这里G是关于给定基的格拉姆矩阵，B-′是B的转置共轭矩阵。对U的任一正规(埃尔米特)变换σ，都存在标准正交基，使σ关于此基的矩阵为对角形(实对角形)矩阵。

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