线性代数

调用格式

目的	命令
求方阵A的行列式	det(A)
求矩阵A的秩	rank(A)
求矩阵A的逆矩阵	inv(A)
求矩阵A的行最简行	rref(A)
求特征值和特征向量	[V,D]=eig(A)
求模最大的特征值和特征向量	[V,D]=eigs[A,1]

例题

MATLAB程序实现：

clc, clear, syms s
a=[3*s,-2;-6,s]; b=[4;1];
c=det(a) %计算系数矩阵的行列式
s0=solve(c) %求行列式等于零的点
x=inv(a)*b %当 a 可逆时，求方程组的唯一解
x=simplify(x) %对符号解进行化简

其输出为：

c =3*s^2 - 12s0 =-22x =(4*s)/(3*(s^2 - 4)) + 2/(3*(s^2 - 4))s/(s^2 - 4) + 8/(s^2 - 4)x =(2*(2*s + 1))/(3*(s^2 - 4))(s + 8)/(s^2 - 4)

符号微积分

极限

调用格式

命令	效果
limit(f,x,a)	计算当自变量 x 趋近于常数 a 时，符号函数 f(x)的极限值.
limit(f,x,a,‘left’)	计算当 x 从左侧趋近于 a 时，符号函数 f(x)的左极限值.
limit(f,x,a,‘right’)	计算当 x 从右侧趋近于 a 时，符号函数 f(x)的右极限值.

例题

MATLAB程序实现：

clc, clear, syms x
a=limit(sin(x)/x,x,0) %求 x 趋近于 0 时的极限
b=limit((1+1/(2*x))^x,x,inf)

输出结果为：

a =1b =exp(1/2)

微分

在 MATLAB 中，采用函数 diff 进行符号函数求导运算，gradient 求多元函数的梯度，利用函数 jacobian 求 Jacobian 矩阵等.

调用格式

命令	效果
diff(expr)	求符号表达式 expr 对第 1 个符号变量（symvar(expr,1)确定）的一阶导数.
diff(expr,n)	求符号表达式 expr 对第 1 个符号变量的 n 阶导数.
diff(expr,v,n)	求符号表达式 expr 对符号变量 v 的 n 阶导数.
gradient(f)	求多元函数f的梯度
hessian(f)	求f的Hessian 矩阵
jacobian(F,V)	计算向量函数F关于V的Jacobian矩阵，当F和V为标量时，jacobian(F,V)等价于 diff(F,V).

例题1

MATLAB程序实现：

clc, clear, syms x y
f(x,y)=x^3+x*y+y^2;
dx=diff(f) %求 f 关于 x 的一阶导数
d2x=diff(f,x,2) %求 f 关于 x 的二阶导数
d2y=diff(f,y,2) %求 f 关于 y 的二阶导数

输出结果：

dx(x, y) =3*x^2 + yd2x(x, y) =6*xd2y(x, y) =2

例题2

MATLAB实现：

clc, clear, syms y(x) dy
eq1=y^5+2*y-x-3*x^7;
eq2=diff(eq1,x) %求关于 x 的一阶导数
eq3=subs(eq2,diff(y(x), x),dy) %把 diff(y(x),x)替换为 dy,否则无法解代数方程
dy2=solve(eq3,dy) %解代数方程，求 y 关于 x 的导数
dy3=subs(dy2,{x,y(x)},{0,0}) %代入具体的数值

输出结果为：

eq2(x) =5*y(x)^4*diff(y(x), x) + 2*diff(y(x), x) - 21*x^6 - 1eq3(x) =2*dy + 5*dy*y(x)^4 - 21*x^6 - 1dy2 =(21*x^6 + 1)/(5*y(x)^4 + 2)dy3 =1/2

例题3

MATLAB实现：

clc, clear, syms x y
f(x,y)=exp(x)*sin(y)+x^2+x*cos(y);
gradf=gradient(f)
Hf=hessian(f)

输出结果为：

gradf(x, y) =2*x + cos(y) + exp(x)*sin(y)exp(x)*cos(y) - x*sin(y)Hf(x, y) =[     exp(x)*sin(y) + 2,     exp(x)*cos(y) - sin(y)]
[exp(x)*cos(y) - sin(y), - exp(x)*sin(y) - x*cos(y)]

例题4

MATLAB实现：

clc, clear, syms x y
f(x,y)=exp(x)*sin(y)+x^2+x*cos(y);
gradf=gradient(f)
Hf1=jacobian(gradf) %求梯度向量的 Jacobian 阵
Hf2=hessian(f) %求 f 的 Hessian 阵

输出结果为：

gradf(x, y) =2*x + cos(y) + exp(x)*sin(y)exp(x)*cos(y) - x*sin(y)Hf1(x, y) =[     exp(x)*sin(y) + 2,     exp(x)*cos(y) - sin(y)]
[exp(x)*cos(y) - sin(y), - exp(x)*sin(y) - x*cos(y)]Hf2(x, y) =[     exp(x)*sin(y) + 2,     exp(x)*cos(y) - sin(y)]
[exp(x)*cos(y) - sin(y), - exp(x)*sin(y) - x*cos(y)]

积分

在 MATLAB 中，提供了 int 函数计算符号表达式的不定积分和定积分，函数的调用格式为：

调用格式

命令	效果
int(expr,v)	求符号表达式 expr 关于符号变量 v 的不定积分.
int(expr,v,a,b)	求符号表达式 expr 关于 v 的定积分，积分区间为[a,b].

例题

MATLAB实现如下：

clc, clear, syms x
I1=int(x*exp(x)/(1+exp(x))^2) %求符号不定积分
pretty(I1) %书写习惯的显示方式
I2=int(x^2/(x^4+x^2+1),x,0,inf) %求符号定积分
pretty(I2) %书写习惯的显示方式
I2=double(I2) %把符号数据转换为 double 类型数据

输出结果如下所示：


I1 =(x*exp(x))/(exp(x) + 1) - log(exp(x) + 1)x exp(x)
---------- - log(exp(x) + 1)
exp(x) + 1I2 =(pi*3^(1/2))/6pi sqrt(3)
----------6I2 =0.9069

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