1. 题目

用经典四阶龙格库塔方法对初值问题 $\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-20 y \\ y(0)=1 \end{array}\right.$ ，步长分别取求解，观察稳定区间的作用。

2. 算法原理

某些常微分方程有解析解，但大多数都没有，因此需要进行数值解计算。

龙格—库塔法是利用f(x,y)在某些特殊点上的函数值的线性组合，来估算高阶单步法的平均斜率。

经典的龙格—库塔法是四阶的，也就是在 $(x_i,x_{i+1})$ 中用四个点处的斜率来估计其平局斜率，构成四阶龙格—库塔公式

其准确解y(x)在一系列点xi处y（xi）的近似值yi的方法，yi称为数值解。经典的四阶龙格库塔法方程如下：

$y_{i+1}=y_i+c_1 K_1+c_2 K_2+c_3 K_3+c_4 K_4$

其中：

$\left\{\begin{array}{l} K_1=h f\left(x_i, y_i\right) \\ K_2=h f\left(x_i+a_2 h, y_i+b_{21} K_1\right) \\ K_3=h f\left(x_i+a_3 h, y_i+b_{31} K_1+b_{32} K_2\right) \\ K_4=h f\left(x_i+a_4 h, y_i+b_{41} K_1+b_{42} K_2+b_{43} K_3\right) \end{array}\right.$

其中的各个参数具体如下：

$\begin{gathered} a_2=a_3=b_{21}=b_{32}=\frac{1}{2} \\ b_{31}=b_{41}=b_{42}=0 \\ a_4=b_{43}=1 \\ c_1=c_4=\frac{1}{6} \\ c_2=c_3=\frac{1}{3} \end{gathered}$

其整合之后为：

$\left\{\begin{array}{l} y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}\left(K_1+2 K_2+2 K_3+K_4\right) \\ K_1=h f\left(x_i, y_i\right) \\ K_2=h f\left(x_i+\frac{h}{2}, y_i+\frac{1}{2} K_1\right) \\ K_3=h f\left(x_i+\frac{h}{2}, y_i+\frac{1}{2} K_2\right) \\ K_4=h f\left(x_i+h, y_i+K_3\right) \end{array}\right.$

其中h为步长。

3. 代码

clear;
clc;for step = [0.1, 0.2]x_0 = 0;y_0 = 1;num = floor(1/step);n = 1;X_output = [0];Y_output = [1];disp("y'= -20 * y")while n <= numx_1 = x_0 + step;K_1 = step * fun(x_0,y_0);K_2 = step * fun(x_0 + step/2, y_0 + K_1/2);K_3 = step * fun(x_0 + step/2, y_0 + K_2/2);K_4 = step * fun(x_0 + step, y_0 + K_3);y_1 = y_0 + (K_1 + 2 * K_2 + 2 * K_3 + K_4) / 6 ;X_output = [X_output x_1];Y_output = [Y_output y_1];x_0 = x_1;y_0 = y_1;n = n + 1;endfigure()plot(X_output,Y_output)xlabel('x')ylabel('y')title(['Runge-Kutta4阶,步长为：', num2str(step)])X_outputY_outputclear X_output Y_output
end[x,y] = ode45('fun', [0:1], 1);
figure()
plot(x,y)
xlabel('x')
ylabel('y')
title('自带函数求解结果')function dy = fun(x, y)
dy = - 20*y;
end

4. 结果

4.1 运行结果

Step = 0.1 时X_output =
0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000
1.0000Y_output =
1.0000    0.3333    0.1111    0.0370    0.0123    0.0041    0.0014    0.0005    0.0002    0.0001    0.0000Step = 0.2时
X_output =
0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000Y_output =
1           5          25         125         625        3125

4.2 结果分析

用经典四阶龙格库塔方法求解,其求解结果与设置得步长有很大的相关性，步长设置合适时，其求解情况与真实值基本一致，趋于稳定。但步长加大时，其求解值与真实值相差太大。

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