1. 群 (Group) 的定义：

群 $G=\{...,g,...\}$ 就是定义了二元运算 $\bullet$ （称为群乘法）且满足下列条件的非空集合：

(1) 封闭性：对 $\forall g,g'\in G$ ，满足 $g\bullet g'\in G$ .

(2) 结合律：对 $\forall g_1,g_2,g_3 \in G$ ，满足 $(g_1\bullet g_2)\bullet g_3 = g_1\bullet (g_2\bullet g_3)$ .

(3) 单位元：存在唯一单位元素 $g_e$ 使得对 $\forall g \in G$ 由 $g_e \bullet g=g\bullet g_e=g$ .

(4) 逆元：对 $\forall g \in G$ 存在唯一逆元 $g^{-1}\in G$ 使得 $g^{-1}\bullet g=g\bullet g^{-1}=g_e$ .

可以看到群运算不要求满足交换律 $g_1\bullet g_2 = g_2\bullet g_1$ ，额外满足交换律的群被称为阿贝尔群（Abel Group）或交换群。

根据群中元素的个数分为有限群和无限群。

2.群的讨论

可以看到群是一个集合，而且必须要定义群乘法。

我们可以自己构建一个有限群：

$G={0,1,2,3}$ , $g_1\bullet g_2=e^{\frac\pi2i(g_1+g_2)}$

可知G一定满足封闭性、乘法的结合律，且单位元就是 $g=0$ ，任意元素的逆元表示为 $g^{-1}=(4-g)\ \textup{mod}\ 4$ 。

它同时还满足交换律，所以是一个阿贝尔群。

上述这个有限群的乘法实质上还是加法，所以要注意群乘法并不是必须是数学上的乘法，它只是定义一种二元运算，可以不是乘法，也可以很复杂。

所以，还能定义一个有限模加群，即：

$G={0,1,2,3}$ , $g_1\bullet g_2=(g_1+g_2)\textup{mod}\ 4$

其性质与第一个定义的有限复数乘法群完全相同。

当然还有一些重要的无限群，如整数加群、非零实数乘法群等。

群论：群的定义与阿贝尔群相关推荐

离散数学 06.02 群的定义
§6.2群的定义 \color{blue}{\S 6.2 群的定义} 群论的研究起源于19世纪,它是由于方程论的需要,首先作为置换群的理论发展起来的.随后,发现在大多数问题中,重要的不是构成群的置换 ...
【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )
文章目录群的定义群的分类群的证明方法交换群的证明方法数集回顾群的证明群的定义群的定义 : 一个非空集合 GGG 中 , 如果定义了一个 "乘法" 运算 ...
什么是群、什么是阿贝尔群（abel群、阿贝尔群也称为交换群或可交换群）、群论入门
文章目录一.什么是群二.什么是阿贝尔群三.群论入门四.参考一.什么是群伽罗瓦理论之美参考URL: https://zhuanlan.zhihu.com/p/28023009 中文名:群 ...
集群的定义以及类别定义
目录文章目录目录集群定义集群类型 scale on:纵向扩展 scale out:横向扩展 LB:Load Balancing:负载均衡集群 HA:High Availability:高可用集 ...
抽象代数——群的基本定义和一些例子
群论的基本概念点较多,且各概念点之间关系纵横交错,学习起来颇有本科时初学线性代数时的感觉,觉得有必要整理一下,先梳理一下群的基本定义和例子. 首先作几点说明: 1.群(group).环(ring).域 ...
对称、群论与魔术（二）——用群来描述对称性
早点关注我,精彩不迷路! 上一篇我们提到了在物理世界很常见的一类变换--几何变换,它们有着特殊的结构,在数学上是一个双射,而且其操作和结果有着一一映射关系,可以用排列来描述.于是我们可以单独拎出这个数 ...
群、环、域的概念,定义和理解.
群.环.域的概念,定义和理解. 以下链接很好的解释了群环域的概念. http://sparkandshine.net/algebraic-structure-primer-group-ring-fie ...
代数结构、半群与群——定义与性质
一.代数结构代数运算代数运算的定义:设A是非空集合,n∈I+,函数f:An->A称为A上的一个n元运算,n称为该运算的阶,特别的,A中的每个元素称为A上的0元运算. 代数运算的性质封闭性: ...
集群定义以及高性能计算环境方案
[精彩] 集群定义以及高性能计算环境方案. http://www.chinaunix.net 作者:gongshi 发表于:2007-11-19 15:55:07 [发表评论] [查看原文] [服务 ...

群论：群的定义与阿贝尔群

1. 群 (Group) 的定义：

2.群的讨论

群论：群的定义与阿贝尔群相关推荐

最新文章

热门文章