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上一篇我们提到了在物理世界很常见的一类变换——几何变换，它们有着特殊的结构，在数学上是一个双射，而且其操作和结果有着一一映射关系，可以用排列来描述。于是我们可以单独拎出这个数学对象来，并抽象其数学部分，反哺物理的同时，形成数学自身的系统。

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对称性的群论公理描述推演

今天我们接着上一讲，来把那些从直觉开始的推导全都写成数学式子。

回顾上一讲讲的六边形旋转和翻转生成各种自己的案例，我们可以把这个过程抽象成这样。

有一个初始元素e，在e上有一些操作，操作在数学上并不看重其物理意义，（这也是数学的操作可以定义得物理学家抓狂而没法理解甚至鄙视的原因），只需要是一个定义清楚定义域和对应关系的映射就好了。这些操作不断作用在原始元素e上形成新的元素，并且这些元素是有限的（暂时讨论有限群），比如至少得存在一个n，使得f ^ n(x) = x等等，而里面的每个元素，本身就可以用一串操作序列来代表，表示这一串操作而来。那这样看明显有两个性质：

1. 每个操作的复合，即每个元素对应的操作本身，都是可逆的。

这很好证明，这相当于证明操作本身是一个其集合内所有元素到其上的一个双射，其复合自然也是。反证法就好了，假设存在元素x1, x2,有操作f(x1) = f(x2)，不是单射了，那其值域最多仅有n - 1个元素，全集和其差集至少有1个元素。即有1个元素，是任何集合里的元素经过该操作都到达不了的。那也就一定有 f ^ n(x) = x不成立，和原假设矛盾。其实这等价于在六边形的1号顶点左侧搞一个7 -> 1的映射，旋转的话有6 -> 1，于是会发现7怎么也转不回自己的情况。

可是如果不把f ^ n(x) = x看成初始条件，而是一条性质的话，我们单独看可逆这个说法，不管f是对应物理上的操作还是什么，可逆在数学上的解释，就一定是作为映射的f，是一个一一对应的双射。又因为所有元素都是f操作而来，因此只能是自身到自身的双射，否则象集合是新集合的真子集的话，那不可能是单射；是真超集的话，那多的那个元素在定义域内没有定义也是矛盾的。所以这里理解上也可以把可逆看成初始条件，等价于这个操作一定被一个数学上的双射描述。而很容易看到，如果是双射排列了，那么这个双射一定可以拆解成若干个互相等价的环，大小相同，互不相通，也自然有f ^ n(x) = x的性质了。这一点也是后面用cycle notation表示群结构的基础，另外这里的n值也称为该元素的阶。

而这里操作的可逆性在物理上其实是显然的，可以被认定正确的现象，只是不会像想为什么苹果会落下一样，一般不会去想我移动一个木头块这里会有什么群的数学结构。你拿着图形怎么转过去的，就怎么转回来，怎么折过去，平移过去的，就怎么平移回来，天然就是可逆的，不过数学上我们却要抽象地严格说明从函数意义上是个双射，才叫真的操作可逆，这物理学家看了不见怪才怪呢！

2. fc(fb(fa(x))) = fc+b(fa(x))

这里，fc+b(x) = fc(fb(x))

然后你把这个写法往里面一带入，发现两边的式子就一模一样了，那这性质有啥用？

你再定义fa(x) = x + a，那这个式子是不是可以化为：

a + b + c = a + (b + c)

这是啥？这不就是加法结合律吗？

怎么样？所谓的加法交换律，当把加法定义成元素上的操作，且元素和操作一一对应的时候，竟然就只是定义而已！而且，这个式子不仅仅是两个数相等，是对任意的x做以上等式两边的操作，结果都相同才是两个相同的映射哦！

那为什么这样呢？你可以想象这其实是任意的输入x，去经过abc三层考验达到结果的过程，左边是顺序做，右边是a做完以后，把后两层考验的全部输入输出结果记下来形成新的等效考验b + c去作用在a上，那这有理由不相等吗？

以上这些我们联合起来定义，就可以构成一个描述类似过程的数学结构了。

给定集合G，连同加法”+”，构成的元组(G, +)，规定如下数学结构：

1. 封闭性，对任意a, b in G, a + b in G，显然，作为双射的排列函数复合以后依然是排列，更本质的是我们的集合G就是由+这个操作生成来的，一旦超出就拓展自己，直到能回到自己，否则就是无限集合，如整数集等等；

2. 存在幺元e，使得任意a in G，e + a = a，e在我们的定义里就是不经过任何操作f的起点，映射到自身，自然加了等于白加，上面就是那个初始的六边形；

3. 对任意a in G，存在逆元a ^ - 1，有 a + a ^ - 1 = e，这等价地在说，f ^ - 1f(e) = e，即f操作可逆，作为排列的双射，自然可逆，前面已证明；

4. 加法结合律成立：对任意a, b, c in G, (a + b) + c = a + (b + c)，已经证明。

从这个推导可以看出，正是元素定义为从幺元开始执行了某操作的结果，加法代表将两个元素对应的操作叠加的本质，恰是为什么结合律存在的根本原因。而整个结构，本质上一个特殊条件下的图。

数学家给满足以上性质的结构取了一个名字，叫做群！

群论相关简介和举例

以上所有排列构成的群，我们叫做Sn排列群，可以看作是大小为n的群的全集，其他如果还有群满足以上条件，是G的子集的话，那是其子群，称之为置换群。如果是有限元素的群，Cayley定理告诉我们，任何有限群都和置换群同构，即所有的群结构，都可以表示成置换。

什么意思呢？不妨想象一下，这个拼图的n个颜色相同的块，不允许随便打乱拼接，而只允许按顺序依次往后挪动一个位置这一个操作，于是，有f ^ n(e) = e，当移动n次以后恢复原来的排列，中间一共有n种状态，即n个操作，这完全符合上述群的定义，但并不是每个n!里的排列它都去得到的，是其中的一个子排列集合，这是单一操作复合而生成的群，称之为循环群Cn。

那么几何图形六边形的数学定义，竟然是一个12个元素的一个排列组成的集合，排列些一大堆，这写起来也太复杂了。于是，我们有了专门的群论的符号来描述这一类现象，叫做D6群，写作：

D6 = <(r, f) | r ^ 6 = e, f ^ 2 = e, rfrf = e>

这里的<>符号是特指经由指定操作和其ma满足的性质条件下生成出来的群的符号，生成结果也可以写成图的形式(G; +, *)等，但是群的本质还是以操作为基础定义的，生成的图只是结果，因此这种表示方法更能够体现其结构本质。

上面这些性质给的就很奇怪，有点不知道怎么和实际物理过程对应还是可以生造。其实都用排列来表示就清晰了，无非是Reverse和平移1位这两个排列上的操作而已了。正六边形之所以说有D6对称性，其实是因为恰好D6内的元素可以由基本的旋转加对称这样的简单几何变换来得到罢了。随便找6个点，按照排列也可以这么映射6个点，再连线成一堆这些六边形的对称变换，只是不是几何变换罢了，物理上不存在了。

其实生活中有很多情况下都是双射，不仅仅是一叠扑克牌，一叠作业本这么具体的排列才是，比如拼图的打乱前后，对给定空间内物体进行的所有刚体变换等，都是双射，这简直是一个惊天大秘密，却是再也简单不过的事实了。

下面以最简单的三角形的对称变换为例，看看其qun群论描述。

首先是不能翻转，只有旋转对称C3群：

图1 等边三角形关于旋转120度操作的对称性描述

但是我们明明还知道，等边三角形不仅能有旋转对称，还有3条轴对称性质。就拿竖直的这一根来说，其对应的轮换表达是(2 3)，显然这是一个周期为2的操作，而且我们可以把这个操作和旋转120度复合起来，去得到所有的对称性的生成元表达，这个群我们称之为D3群，图称之为Cayley图。

图2  D3群的Cayley图

值得一提的是，同一个群因为所选择的生成元不同，可以有完全不同的Cayley图表示，但仍然是同一个群结构。比如，D3群有6个元素，和S3群已经同构了，那S3群可以用哪些生成元生成呢？比如我们就用(1 2)和（2 3）这两个相邻轮换来作生成元，那其Cayley图长这个样子：

图3 S3群的Cayley图一种

可以看到，这就是一圈了，而关于不同元素复合起来的性质，图形上我们可以直观看，但本质上是看它变成了怎样的排列了。

画这种Cayley图应该是群论计算的基本功了，基本给定初始元素和各种操作的性质和其复合性质，就能够根据BFS或者DFS去遍历出整个群的结构了，甚至都可以直接交给计算机来完成，去可视化每一种性质的变换生成的结构到底是什么样的图。

从几何对称到抽象对称

这时我突然想到了对称函数的概念，其实那恰巧是满足ff(x) = x，对其上的自变量和因变量对而言，构成一组组C2群 = {e, f(e) | ff(e) = e}，其操作关系集 = {(e, f(e)), (f(e), e)}的并集就是这个函数，可以有很多个类似的幺元，共同点是它们都共用同一套操作f。而写成f ^ - 1(x) = f(x)时，表明的是函数本身在取反操作下的不变性，而这恰好是由其内每个C2群的两个元素组成的映射元组而得来的，其排列表示可以是(2, 1)，体现的是用排列来描述群元素的通用方法。

这个函数取反的操作作用在函数上也可以叫对合算子，对应前后的结果互为对偶关系，当然如果如上的C2群对称性满足，也称为自对偶。

没错，这一段正是数理逻辑上的对称定义，不过是个C2的特例罢了，比如我们可以说，and，or，nor，if and only if，nor等运算都是对称的，其对自变量的对换操作具有不变性。但是if显然是不对称的，这正是充分条件和必要条件的区别。

在抽象的数学对象里，可以找出很多抽象的对称性。比如奇函数偶函数的抽象轴对称和旋转对称性（抽象的意思是，它本不是几何图形，画出来才是），对称群的对称变性，对称矩阵，伽罗瓦群的对称性，甚至我们统计分布经常用到的对称分布，以及偏离它的有一定偏度（skewness）的分布。

对称的现象千千万，不过几何图形的对称一定是群论研究的起源与最直观的体现，值得好好学习一番。下一篇，我们就将介绍一下，就空间几何操作的限定下到底有哪些常见的对称群操作呢？以便我们对群论中关于对称群的部分有一个粗浅的了解，敬请期待。

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视频1 五边形的奇迹

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