前言

记录阵列信号处理的学习过程。

一、自适应波束形成的最佳权矢量

一般来说，并不希望直接求解方程，其理由如下:①由于移动用户环境是时变的，所以权向量的解必须能及时更新;②由于估计最佳解需要的数据是含噪声的，所以希望使用一种更新技术，可利用已求出的权向量求平滑最佳响应的估计，以减小噪声的影响。因此，希望使用自适应算法周期更新权向量。
实际上就是自适应滤波的工程，使得输出不断向期望信号收敛。这里以MMSE（最小均方误差）为例，说明如何把他变成一种自适应算法。
1.MMSE方法
MMSE准则就是使误差y(k)−d(k)y(k)-d(k)y(k)−d(k)的均方值最小化，即代价函数取J(wq)=E[∣wqHx(k)−dq(k)∣2]J(w_q)=E[|w^H_qx(k) - d_q(k)|^2]J(wq)=E[∣wqHx(k)−dq(k)∣2]实际上就是数学中的问题，给了y，要去求使得y取得最小最小值的x，在一维中我们直接求导数就可以，在二维和高维中，我们利用雅可比行列式，实际上是和一元差不多。在一元函数中，我们寻找最优点往往就是先给定初始xxx，然后以一个步长往梯度的反方向步进，在这里也是一样。
我们将上式子展开
J(wq)=wHE[x(k)xH(k)]wq−E[dq(k)xH(k)]wq−wqHE[x(k)dq∗(k)]+E[dq(k)dq∗(k)]J(w_q)=w^HE[x(k)x^H(k)]w_q-E[d_q(k)x^H(k)]w_q-w_q^HE[x(k)d^*_q(k)]+E[d_q(k)d^*_q(k)]J(wq)=wHE[x(k)xH(k)]wq−E[dq(k)xH(k)]wq−wqHE[x(k)dq∗(k)]+E[dq(k)dq∗(k)]对上式子对wqw_qwq求导数（矩阵求导，下次抽空了写一下），求得
∂∂wqJ(wq)=2E[x(k)xH(k)]wq−2E[x(k)dq∗(k)]=2Rxwq−rxd\frac{\partial}{\partial w_q}J(w_q)=2E[x(k)x^H(k)]w_q-2E[x(k)d^*_q(k)]=2R_xw_q-r_{xd}∂wq∂J(wq)=2E[x(k)xH(k)]wq−2E[x(k)dq∗(k)]=2Rxwq−rxd
只要求出了梯度，我们就可以迭代，一步一步沿着梯度的方向去步进。

2.LMS算法
MMSE方法可以用LMS算法实现。
考虑随机梯度算法，其更新权矢量的一般公式为
wq(k+1)=wq(k)−12u∇w_q(k+1) = w_q(k) - \frac{1}{2}u\nabla wq(k+1)=wq(k)−21u∇
式中∇=∂∂wq(k)J(wq(k))\nabla = \frac{\partial}{\partial w_q(k)}J(w_q(k))∇=∂wq(k)∂J(wq(k))，uuu是收敛因子，实际上就是步长，这个步长，选长了，容易收敛不了，就一直在最优点旁边左右移动，选短了，需要的迭代次数增加。
上面已经求出
∇=2(E[x(k)xH(k)]wq(k)−E[x(k)dq∗(k)])\nabla = 2(E[x(k)x^H(k)]w_q(k) - E[x(k)d^*_q(k)])∇=2(E[x(k)xH(k)]wq(k)−E[x(k)dq∗(k)])
但是E[]E[]E[]这个东西是个什么呢？在实际运算中，我们如何求EEE呢？实际上EEE是一个总体的特征，当样本足够多时，我们可以去估计它，但是我们现在要求实时更新，也就是采一次样，那么就利用LMS算法去更新一次，现在有EEE是不可以的，LMS算法的基本思路是把数学期望用各自的瞬时值代替，即得到kkk时刻的梯度估计值如下
∇~(k)=2x(k)[xH(k)wq(k)−dq∗(k)]=−2x(k)f(k)\tilde{\nabla}(k) = 2x(k)[x^H(k)w_q(k)-d^*_q(k)]=-2x(k)f(k)∇~(k)=2x(k)[xH(k)wq(k)−dq∗(k)]=−2x(k)f(k)实际上
E[∇~]=∇E[\tilde{\nabla} ] = \nablaE[∇~]=∇，即∇~\tilde{\nabla}∇~是∇\nabla∇的一个无偏估计，在某些情况下，我们是可以替代的。
我们将梯度值代回权矢量的更新公式，得到了LMS算法为
w(k+1)=w(k+1)+ux(k)f(k)w(k+1) = w(k+1)+ux(k)f(k)w(k+1)=w(k+1)+ux(k)f(k)

算法	初始化	更新公式
LMS	w0=0w_0=0w0=0	y(k)=wH(k)x(k)f(k)=d(k)−y(k)w(k+1)=w(k)+ux(k)f∗(k)y(k)=w^H(k)x(k) \\ f(k)=d(k)-y(k) \\ w(k+1) = w(k) + ux(k)f^*(k)y(k)=wH(k)x(k)f(k)=d(k)−y(k)w(k+1)=w(k)+ux(k)f∗(k)

二、MATLAB实现

1.代码逻辑

实际上LMS实现比较简单。
1.kkk时刻计算y(k)=wH(k)x(k)y(k)=w^H(k)x(k)y(k)=wH(k)x(k)
2.计算f(k)=d(k)−y(k)f(k)=d(k)-y(k)f(k)=d(k)−y(k)
3.更新权矢量w(k+1)=w(k)+ux(k)f∗(k)w(k+1) = w(k) + ux(k)f^*(k)w(k+1)=w(k)+ux(k)f∗(k)
4.进行第k+1k+1k+1次迭代

2.代码实现

clear;
clc;
M = 16;
thetas = [0 30 60];
lambda = 10;
d = lambda /2;N = 1000;
n = 0:N-1;
f0 = 2000;
s = [1*sin(2*pi*f0 *n/(8*f0));...2*sin(2*pi*2*f0 *n/(8*f0));...3*sin(2*pi*3*f0 *n/(8*f0))];
% 生成方向矢量
A = exp(-1i * 2 * pi * d * (0:M-1)' * sind(thetas) / lambda);
St = A*s + randn(M,N);
% LMS 算法 开始 进行自适应滤波
di = s(1,:);  % 第一行为期望信号
u = 0.0005;
w = zeros(M,1);  % 初始化权重向量for k = 1:Ny(k) = w'*St(:,k);e(k) = di(k) - y(k);w = w + u * St(:,k) * conj(e(k));
end
scan_theta = [-89:90];
beam = zeros(1,length(scan_theta));
for i = 1 :length(scan_theta)% 构造该方向的方向向量v = exp(-1i * 2 * pi *d* (0:M-1)'.*sind(scan_theta(i))/lambda);beam(i) = abs(w'*v);
end
figure;
plot(scan_theta,20*log10(beam/max(beam)))
title('方向图')
figure;
for k = 1:Nen(k) = (abs(e(k)))^2;
end
semilogy(en); hold on;
xlabel('迭代次数')
ylabel('MSE')
title('MSE')

3.实验结果

当以0度入射的信号为期望信号时

当以30度信号为期望信号时。

可见权值都收敛到了正确的方向图方向。

主要参考：张小飞.阵列信号处理及MATLAB实现[M].电子工业出版社

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