线性代数之向量线性相关线性表示的求法
线性代数之线性相关线性表示的求法
线性相关
向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量，若存在一组不全为0的
使得 则 是线性相关的，反之线性无关。
线性无关即等价于以下命题：
- 线性不相关
- 找不到一组不全0的 使得
- 全为0
几种情况:
关于单个向量
- 向量组中两个向量成比例，则两个向量必线性相关
- 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k，其余均为0)
- 一个零向量必线性相关
- 一个非零向量必然线性无关
- 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量
线性表示
如果向量 则b是向量组A的线性组合，这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解，全是0也是有解。
特别的：
- 线性表示时系数可以全是0
- 0向量可有任意向量组表示。
任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示
线性相关例子汇总
判断线性相关（不含参数）
该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。
#Sample1（示例一）,判断如下向量组是否线性相关：
1：
2：
解：针对第一题：
Step1：首先我们先立方程
针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关（无解）。
Step2：于是我们得到下式：
Step3： 我们对k的行列式化简得到如下行列式：
该行列式不为0，所以当前关于k的方程组有唯一解，即
所以当前向量组里的向量 线性无关。
针对第二题：同样的思路
Step1：设
Step2：于是我们得到
Step3：针对k化简得到如下行列式，易得其为0,所以k有非零解。
Step4：因为关于k的解有无穷个，所有这里取
换言之存在不全为0的数使得 即 线性相关。
判断线性相关(含参数)
针对这种类型的问题，一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵，对矩阵做行(列)变换，使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行（列）为零行来判断向量组的线性相关性。（参数所在行全为0则行列式为0，线性无关，否则相关）。
#Sample2（示例二）：已知向量组
判断其相关性。
解：
Step1：因这里向量组的向量个数和向量的维数相同，所以可以按照列组成行列式。
Step2：第1行的-1倍加到第2行上去，第1行的-5倍加到第3行上去，则得:
即行列式等于2(t-1)
Step3:针对Step2里的t进行讨论，如果t=1，则行列式等于0(即方程有无穷非非零解)，则线性相关，如果t≠1则行列式不等于0（即方程只有零解），则线性无关。
线性表示例子汇总
阶梯法判断线性表示
利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。
#Sample3（示例三）
向量β=（4,4,1，2）是否可由如下向量组线性表示，如果可以，写出表达式。
1:
2:
解：
针对第一题：
Step1：用 作为列向量构成矩阵A，则A为
Step2：交换第1和第2行，则化为：
Step3：第1行的2倍加到第2行上去，第1行的5倍加到第4行上去，第1行乘-1，则最终化为：
Step4：在对step3里的矩阵化简，第3行的3倍加到第2、4行上去，则得：
Step5：在对step4里的矩阵化简，第2行的-3倍加到第3行上去，第2行的1倍加到第3行上去，则得：
Step6：在对step5里的矩阵化简，第3行的1倍加到第4行上去，第3行除以-5，则得：
Step7：由A的阶梯型可知 这5个向量的向量组的秩（阶梯型里非零行的行数）是4，所以该向量组的秩必定包含β，即β不能由 线性表示。
针对第二题：
类似第一题，可将构成的矩阵
化简为：
则可见即β可由 线性表示，即
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