算法题解01——对分搜索求立方根

double x；

scanf（“%lf"，&x）；

double cube；

暂且把输入的数命名为x，所求立方根为cube，要求精度为3位小数。我们来写一段代码求出它的立方根。之前已经说过，牛顿已经给出了一个对数阶计算量的算法：二分法。

我们先来建立基本步骤。

1.认识步骤

二分法的步骤是什么？我们先自己在脑海中运行一下，比如求20的立方根：先猜20，大了；猜10，大了；猜5，大了；猜2.5，小了——就猜它和上一个数的平均数，（2.5+5）/2，3.75；3.75又大了，猜它和上一个数的平均数...

容易归纳出，我们从x开始猜，假如大了，就猜它的一半，假如小了，就猜它和它上一个数的平均数。并且之后都猜它和它上一个数的平均数。

真的是这样吗？

假如一开始是“小”呢？

ok，我们再写一个if分支，如果第一个是大，那么就像上面那样猜。如果第一个是小，那么就反过来。

看起来算法框架就此确定了。

可是，“第一次和上一个判断不同的判断”，用人的思维很好理解，简简单单，一眼看穿。但，对人简单的事情，对计算机不一定简单。为了实现这个功能，我们还得引入一个变量，姑且将它命名为int Is;每次cube的立方和x的差值，姑且命名为double margin;

Is=（x>cube*cube*cube)；

如果猜小了，Is的值为1，猜大了就为0（等于就直接输出）

为了记录上一个判断，我们还得定义一个变量，姑且命名为int lastIs;每次循环末尾，lastIs=Is，把Is赋给lastIs，这样就存储了上一个Is的值，再从第二次循环开始的每次循环开头，进行一个Is和lastIs是否相等的判断，如果是，进行某些步骤，如果不是，进行另外一些步骤...

确实能运行，但这是否太麻烦了？我们要一开始就写两个分支，再两个分支中又分支——并且这些分支的步骤还大同小异，仅仅因为要与上一次循环比对，就得重新分支，并且加上一堆复杂的判断。

我们能不能把它统一起来呢？

2.优化步骤并实现算法

再次观察，我们可以发现，大了猜小，小了猜大，逐步逼近，这个像什么？

像不像是两个值，一个是上限，一个是下限，它们逐渐往中间某个值靠拢，把它“夹”出来？

是的，想到这一点，我们就摆脱了上一个循环的桎梏，不用再些那一大堆分支。

我们定义出上限和下限double max，min;再函数最初，默认max=x，min=0——假如x是负数的话就让x=-x，把x变成正数。为此我们引入一个变量int is，假如x为正数is=1，假如x为负数is=-1——引入一个数来记录状态是编程中非常常用的手法，再求得正cube之后，我们最后再乘一次is，就能得到真正的cube了。接下来就只用考虑x为正的情况。

假如猜的cube大了，那么max=cube，小了，min=cube，这样，通过一个简单的分支，就能实现基本步骤。

步骤已经完善了，接下来就是具体的代码实现、精度控制问题。

需要三位小数，我们可以定义一个误差量double margin，它是cube的立方与x的差值。很容易知道，只要循环的终止条件是margin在（-0.001，0.001）区间内，我们就能让cube的误差小于0.001.

于是代码如下：

int main() {double x;scanf("%lf", &x);int is = 1;if (x < 0) {is = -1;x = -x;}double cube = x, max = x, min = 0;double margin = cube * cube * cube - x;while (1) {if (margin >= 0.001 || margin <= -0.001) {cube = (max + min) / 2;} else {break;}margin = cube * cube * cube - x;if (margin >= 0.001) {max = cube;} else if (margin <= -0.001) {min = cube;}}cube = cube * is;printf("%f", cube);return 0;
}

3.代值测试并纠正算法

看起来一切都完美了，真的是这样吗

我们测试一下。

输入-5，输出-1.709900；输入27，输出2.999989；输入-4096，输出-16.000000；输入0，输出0.000000；输入-1，输出-1.000000。负数没问题，正数没问题，大数没问题，0没问题，1也没问题，精度没问题，看起来不错。

？

错了。

输入0.125——程序没有任何输出，进入调试，发现程序陷入了死循环。

是的，我们从x开始猜，上限为x，下限为0，可是，如果cube本就不在这个默认的区间里呢？假如x绝对值小于1，我们知道，|cube|是大于|x|的，根据我们的程序，就求不到结果了。而达不到循环终止条件，程序自然不会进行任何输出，而且陷入死循环，占用CPU资源。

还是我们上一篇说的，一定要确定程序能达到循环终止条件，或者中途有break跳出循环。

于是我们以1为分界线，再加一个分支，解决|x|<1问题。

完美

#include <stdio.h>int main() {double x;scanf("%lf", &x);int is = 1;if (x < 0) {is = -1;x = -x;}double cube = x, max, min;if (x < 1) {max = 1;min = x;} else {max = x;min = 1;}double margin = cube * cube * cube - x;while (1) {if (margin >= 0.001 || margin <= -0.001) {cube = (max + min) / 2;} else {break;}margin = cube * cube * cube - x;if (margin >= 0.001) {max = cube;} else if (margin <= -0.001) {min = cube;}}cube = cube * is;printf("%f", cube);return 0;
}

4.数学分析

完美？

通过数学方法我们知道，（x+0.001）^3=x^3+0.003x^2+0.000003x+0.000000001

margin=0.003cube^2+0.000003cube+0.000000001

（x+d）^3=x^3+3dx^2+3xd^2+d^3

对比易得，通过margin<0.001让精度误差d<0.001,前提条件是|x|>1，而在|x|<1的时候，算法精度是很糟糕的，并且越靠近0越糟糕。比如输入0.015625，输出为0.246338，与0.25差了0.034左右，远远大于要求的0.001.

所以，在|x|小于1的时候这种算法是不可行的。而|x|到1之间，以0.001为跨度，步骤也不多，这个时候，还不如用穷举法，利用y=x^3的单增性，margin的顶点所对应的cube就是输出结果。

当然，其实还有更好的算法，比如牛顿—拉普森算法，这需要更高的数学知识。感兴趣的同学可以自己查阅资料，根据牛顿—拉普森算法写出更好的代码。这就作为思考题，和对分搜索法殊途同归，我就不再啰嗦了