无空插板

给你n个球和m个桶，要求你将这n个球全部放入m个桶中，不允许出现空桶。问你有多少种放的方法。

就相当于，把这n个球列出来，然后在这n个球之间的n-1个空中，插入m-1个板子。如此下来就可以把这n个球分成m份。因此，我们可以知道答案应该为Cm−1n−1Cn−1m−1C_{n-1}^{m-1}。

有空插板

如果我们允许出现空桶呢。

考虑一下，我们会发现在出现空桶时，就会有两个板子放在同一个空中，为了更改成上一个情景同样适用的情况，我们不妨在这些板子之间再放一个球。则答案为Cm−1n+m−1Cn+m−1m−1C_{n+m-1}^{m-1}

大于等于限制下的插板

我们增加条件，对于一些箱子的球的个数要大于或等于ki个。

先把大于ki转化成大于ki-1。然后是同样的思考方式，我们不妨先从n个球中拿出ki-1个球，然后再将剩下的球自由分配，不允许出现空盒，最后分配完之后再将开始拿出来的球放回去对应的桶中，就可以保证满足限制条件了。
答案为Cmn−∑kiCn−∑kimC_{n-\sum k_i}^m

小于等于限制下的插板

增加条件，对于一些箱子的球的个数要小于或等于ki个。

考虑只有一个箱子内球数要小于等于ki限制条件的情况，那么我们可以取其补集，即此箱子内球数大于ki个的情况，那么就可以转化为我们对上一种情况的讨论，全集为无限制条件的答案，减一下即可得到答案。
这个时候我们再来考虑有多个箱子有限制条件的情况，用容斥乱搞一通即可。

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组合数学——插板模型

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