【组合数学】非降路径问题 ( 非降路径问题概要说明 | 非降路径问题基本模型 | 非降路径问题拓展模型 1 非原点起点 | 非降路径问题拓展模型 2 有途经点 )
文章目录
- 一、非降路径问题 概要说明
- 二、非降路径问题 基本模型
- 二、非降路径问题 拓展模型 1
- 三、非降路径问题 拓展模型 2
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一、非降路径问题 概要说明
非降路径问题 是组合计数模型 , 利用该组合计数模型 , 可以处理一些常见的组合计数问题 ;
非降路径问题 :
( 1 ) 基本模型
( 2 ) 在限制条件下的非降路径个数
( 3 ) 非降路径模型应用
- ① 证明恒等式
- ② 单调函数计数
- ③ 栈输出
二、非降路径问题 基本模型
计算 从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数 ?
1 . 非降路径要求 :
出发点 : 从 (0,0)(0,0)(0,0) 出发 ;
移动坐标要求 : 向右走 整数坐标 , 水平和垂直坐标都走 整数长度 ;
移动方向要求 : 每次只能向右 , 或者向上移动 ; 不能向左 , 向下走 ;
2 . 转为选取问题 : 将其变成一个选取问题 ,
步数分析 : 从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (m,n)(m, n)(m,n) , 向右要走 mmm 步 , 向上要走 nnn 步 ;
选取问题说明 : 总共走 m+nm+nm+n 步 , 需要选择那些步向上 , 哪些步向右 , 只要在之和 m+nm + nm+n 步中 , 将向右的 mmm 步都标定后 , 剩下的就是向上的步了 ;
选取问题组合数计算 : 因此这里只要 从 m+nm+nm+n 步中选取 mmm 步即可 , 结果是 C(m+n,m)C(m+n, m)C(m+n,m) , 又可以写成 (m+nm)\dbinom{m + n}{m}(mm+n)
二、非降路径问题 拓展模型 1
计算 从 (a,b)(a,b)(a,b) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数 ?
上述 从 (a,b)(a,b)(a,b) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径数 ,
等于
从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (m−a,n−b)(m-a, n-b)(m−a,n−b) 的非降路径数 ;
坐标平移 : 上述的原理是 坐标平移 , 将整体坐标 向左平移 aaa , 向下平移 bbb , 即可得到 从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (m−a,n−b)(m-a, n-b)(m−a,n−b) 的 非降路径问题基本模型 ;
因此 从 (a,b)(a,b)(a,b) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数为 C(m−a+n−b,m−a)C(m-a + n-b , m-a)C(m−a+n−b,m−a) 条 ;
三、非降路径问题 拓展模型 2
计算 从 (a,b)(a,b)(a,b) 经过 (c,d)(c, d)(c,d) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数 ?
1 . 计算过程说明 :
( 1 ) 分步处理 : 使用 分步计数原理 , 对应乘法法则 ;
( 2 ) 第一步 : 先计算从 (a,b)(a,b)(a,b) 到 (c,d)(c, d)(c,d) 的非降路径条数 ;
( 3 ) 第二步 : 然后计算从 (c,d)(c, d)(c,d) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数 ;
( 4 ) 乘法法则 : 根据乘法法则 , 将上述两个结果相乘 , 最终就是结果要求的非降路径条数 ;
2 . 计算第一步
计算从 (a,b)(a,b)(a,b) 到 (c,d)(c, d)(c,d) 的非降路径条数 , 代入之前的 公式
从 (a,b)(a,b)(a,b) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数为 C(m−a+n−b,m−a)C(m-a + n-b , m-a)C(m−a+n−b,m−a) 条
结果为 : C(c−a+c−b,c−a)C(c-a + c-b , c-a)C(c−a+c−b,c−a)
3 . 计算第二步
计算从 (c,d)(c,d)(c,d) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数 , 代入之前的 公式
从 (a,b)(a,b)(a,b) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数为 C(m−a+n−b,m−a)C(m-a + n-b , m-a)C(m−a+n−b,m−a) 条
结果为 : C(m−c+n−d,m−c)C(m-c + n-d , m-c)C(m−c+n−d,m−c)
4 . 乘法法则
将上述两个非降路径数相乘 , 就是最终结果 ;
从 (a,b)(a,b)(a,b) 经过 (c,d)(c, d)(c,d) 到 (m,n)(m, n)(m,n) 的非降路径条数是 : C(c−a+c−b,c−a)C(m−c+n−d,m−c)C(c-a + c-b , c-a) C(m-c + n-d , m-c)C(c−a+c−b,c−a)C(m−c+n−d,m−c)
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