组合数学——排列组合经典模型

球盒模型

n n n个不同的球放入 m m m个相同的盒子里面，盒子不允许为空

这和第二类斯特林数的定义相同，答案为 { n m } {n \brace m} {mn}。

n n n个不同的球放入 m m m个不同的盒子里面，盒子不允许为空

通过第二类斯特林数计算出 n n n个不同的球放入 m m m个相同的盒子里面，盒子不允许为空的方案数为 { n m } {n \brace m} {mn}，之后再对 m m m个盒子进行排列即可，答案为 { n m } × m ! {n \brace m} \times m! {mn}×m!。

n n n个不同的球放入 m m m个相同的盒子里面，盒子允许为空

枚举空盒数量即可，答案为：

∑ i = 0 m − 1 { n m − i } \sum_{i=0}^{m-1}{n \brace m-i} i=0∑m−1{m−in}

定义为Bell数。

n n n个不同的球放入 m m m个不同的盒子里面，盒子允许为空

配对问题，答案为：

m n m^n mn

n n n个相同的球放入 m m m个不同的盒子里面，盒子不允许为空

经典的隔板法，答案为：

( n − 1 m − 1 ) \binom{n-1}{m-1} (m−1n−1)

n n n个相同的球放入 m m m个不同的盒子里面，盒子允许为空

我们先放入m个相同的球，现在球的数量为 n + m n+m n+m个，我们将这 n + m n+m n+m个球放入 m m m个不同的盒子里面，盒子不允许为空，最后再在每个盒子中抽走一个球，答案为：

( n + m − 1 m − 1 ) \binom{n + m -1}{m-1} (m−1n+m−1)

或者，每一种情况对应一种仅由"N"和"P"组成的操作序列。我们一开始站在第一个盒子处，遇到"P"则在当前盒子放进一个球，遇到"N"则向右走一个箱子。这个序列由 m − 1 m-1 m−1个"N"和 n n n个"P"组成。

n n n个相同的球放入 m m m个相同的盒子里面，盒子允许为空

我们考虑递归，当 m > n m > n m>n的时候，必然会有 m − n m-n m−n个盒子为空，所以将其舍弃，为 p ( n , n ) p(n,n) p(n,n)。其他情况，考虑划分成两种情况，第一种 m m m个盒子全部非空，那么现将 m m m个箱子每一个都放进一个球，方案数为 p ( n − m , m ) p(n-m,m) p(n−m,m)。第二种有至少一个盒子是空的，那么方案数为 p ( n , m − 1 ) p(n,m-1) p(n,m−1)。

int partition(int n, int m)
{if (n == 0)return 1;if (m == 0)return 0;if (m > n)return partition(n, n);elsereturn partition(n, m - 1) + partition(n - m, m);
}

n n n个相同的球放入 m m m个相同的盒子里面，盒子不允许为空

先将 m m m个盒子每一个放入一个小球，保证非空，然后转为为上一个问题，答案为 p ( n − m , m ) p(n-m,m) p(n−m,m)

n n n个相同的球放入 m m m个不同的盒子里面，每个盒子里面最多有一个小球，并且非空的盒子不能相邻

考虑现将小球放入盒子中，之后再每个盒子中插入一个空盒子，还剩下 m − n + 1 m-n+1 m−n+1个盒子，考虑将这 m − n + 1 m-n+1 m−n+1个盒子，可以用空放入 n + 1 n+1 n+1个位置。答案为 ( n − m + 1 n − 2 m + 1 ) \binom{n-m+1}{n-2m+1} (n−2m+1n−m+1)

划分模型

划分模型指 n n n个不同的元素，按照 [ n 1 , n 2 , … , n k ] [n_1,n_2,\ldots,n_k] [n1,n2,…,nk]进行划分成 k k k组，其中 ∑ n i = n \sum{n_i} = n ∑ni=n，问有多少种划分方式。

我们先按照 n i n_i ni的大小相同的分到一个集合中，那么 S S S集合就是多值集合 [ n 1 , n 2 , … , n k ] [n_1,n_2,\ldots,n_k] [n1,n2,…,nk]的一个划分。

那么答案为：

ans = ∏ i = 1 k ( n − ∑ j = 1 k − 1 n i n k ) ∏ s i ∈ S ∣ s i ∣ ! \text{ans} = \frac{\prod_{i = 1}^k \binom{n - \sum_{j = 1}^{k - 1}n_i}{n_k}}{ \prod_{s_i \in S} |s_i|!} ans=∏si∈S∣si∣!∏i=1k(nkn−∑j=1k−1ni)