leetcode - 801. 使序列递增的最小交换次数

解题思路：使用两个状态量来存储信息：
swap[i]表示交换A和B中第i个数字，A和B中前i个数字达到严格递增所需要的最小交换次数。
keep[i]表示不交换A和B中第i个数字，A和B中前i个数字达到严格递增所需要的最小交换次数。

对于A和B中的第i个数字，要考虑两种情况。
第一种情况是A[i]>A[i-1] && B[i]>B[i-1]，同时有A[i]>B[i-1] && B[i]>A[i-1]，这时候对于swap[i]和keep[i]的状态转移方程如下：

if(a[i]>a[i-1] && b[i]>b[i-1])
{if(a[i]>b[i-1] && b[i]>a[i-1]){swap[i] = min(swap[i-1],keep[i-1]) + 1;keep[i] = swap[i] - 1;}
}

在符合上面两个条件的情况下，如果要交换A和B中的第i个数字，则可以找min(swap[i-1],keep[i-1])+1，因为不管是交换第i-1个数字还是保持第i-1数字，对于是否交换第i个数字都没有影响，因为都符合条件，因此我们选择swap[i-1]和keep[i-1]中较小的那个值，然后加1。这样就得到了在符合条件下的交换第i个数字所需要的最小交换次数。

同理，对于keep[i]，因为不管是交换第i-1个数字得到的swap[i-1]还是不交换第i-1个数字得到的keep[i-1]，都对keep[i]没啥影响，因此我们选择swap[i-1]和keep[i-1]中较小的那个，并赋值给keep[i]。也可以表示为keep[i] = swap[i] - 1。具体的形式就和上面的代码一下。

要是符合条件A[i]>A[i-1] && B[i]>B[i-1]，但是不符合条件A[i]>B[i-1] && B[i]>A[i-1]时，我们需要考虑另外的情况，具体的C++代码如下：

if(a[i]>a[i-1] && b[i]>b[i-1])
{if(a[i]>b[i-1] && b[i]>a[i-1])  //两种情况都符合{swap[i] = min(swap[i-1],keep[i-1]) + 1;  keep[i] = swap[i] - 1;}else //不符合a[i]>b[i-1] && b[i]>a[i-1]{swap[i] = swap[i-1] + 1;keep[i] = keep[i-1];}
}

在符合a[i]>a[i-1] && b[i]>b[i-1]条件，但是不符合a[i]>b[i-1] && b[i]>a[i-1]条件时，要找swap[i]的状态转移方程，可以分析一下，因为不符合a[i]>b[i-1] && b[i]>a[i-1]，如果我们交换了第i个数字，那么前i个数字必定不符合严格递增关系。如果要变成符合严格递增关系的子集，则要将前i-1个数组进行变换。很幸运，swap[i-1]表示的是交换第i-1个数字得到严格递增关系的数组所需的最小交换次数。那么就可以得到swap[i] = swap[i-1] + 1。

同理，对于keep[i]，因为第i个数字不符合a[i]>b[i-1] && b[i]>a[i-1]，要求第i个数字保持不变得到前i个数组严格递增所需的最小交换次数，则分析前i-1个数组中的swap[i-1]和keep[i-1]。可以得知keep[i] = keep[i-1] + 1。意思是要求第i个数字不变的最小交换次数，则可以在第i-1个数字不变得到递增数组所需的最小交换次数上加1。注意不能用到swap[i-1]，因为swap[i-1]是交换了第i-1个数字的。当交换第i-1个数字时，如果第i个数字不交换，是没办法得到严格递增数组的。

第二种情况是A[i]<A[i-1] || B[i]<B[i-1]，这种情况下考虑swap[i]和keep[i]的状态转移方程，根据上面的分析，我们可以简单地得到：
swap[i] = keep[i-1]+1;
keep[i] = swap[i-1];
这两个状态转移方程的意思是，如果交换第i个数字，则是在第i-1个数字不交换得到递增数组的最小交换次数的程度上+1。同理，如果不交换第i个数字，则因为违反了严格递增关系，需要把前i-1个数组进行变换，那么恰好swap[i-1]的意思就是交换第i-1个数字得到严格递增数组所需的最小交换次数，那么就可以得到keep[i] = swap[i-1]；

综上分析，可以得到整体C++代码如下：

class Solution {
public:int minSwap(vector<int>& a, vector<int>& b) {int length = a.size();vector<int> swap(length,1);  //用于存储交换第i个数字，使前i个数字达到严格递增数组所需的最小交换次数vector<int> keep(length,0);  //用于存储不交换第i个数字，使前i个数字达到严格递增数组所需的最小交换次数for(int i=1;i<length;i++){if(a[i]>a[i-1] && b[i]>b[i-1])  //如果A(B)中第i个数字和A(B)中第i-1个数字符合严格递增关系{if(a[i]>b[i-1] && b[i]>a[i-1])  //如果A(B)中第i个数字和B(A)中第i-1个数字符合严格递增关系{ swap[i] = min(swap[i-1],keep[i-1]) + 1;keep[i] = swap[i] - 1;}else  //如果A(B)中第i个数字和B(A)中第i-1个数字不符合严格递增关系{swap[i] = swap[i-1] + 1;keep[i] = keep[i-1];}}else  //如果A(B)中第i个数字和A(B)中第i-1个数字不符合严格递增关系{swap[i] = keep[i-1] + 1;keep[i] = swap[i-1];}}return min(swap[length-1],keep[length-1]);  //返回交换或者不交换两者之间的较小的值}
};

这里解题的关键是要理解swap[i]和keep[i]代表的意义，并理解swap[i-1]、swap[i]、keep[i-1]、keep[i]之间的关系。

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