TRS复合矩阵的拆解

2024-06-09 19:00:22

参考：百度百科-矩阵乘法，转置矩阵，逆矩阵
(Owed by: 春夜喜雨 http://blog.csdn.net/chunyexiyu)

TRS矩阵拆解(Translate, Rotate, Scale):

按照Translate, Rotate, Scale顺序复合的矩阵，我们可以对它进行拆解，拆解出原始的Translate, Rotate, Scale矩阵。
下面是拆解得理论过程。

TRS所在分量

矩阵形如：
m00, m01, m02, m03
m10, m11, m12, m12,
m20, m21, m22, m23
m30, m31, m32, m33

Rotate和Scale的分量部分位于：3*3的区域

[m00, m01, m02]
[m10, m11, m12]  = Rotate * Scale
[m20, m21, m22]

Translate的分量部分位于：第4行的前三个部分
m30, m31, m32

Translate矩阵分离

Translate矩阵是最外层矩阵，它直接起作用到Translate分量部分，直接可以分离出来
[1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0]
[0, 0, 1, 0]
[m30, m31, m32, 1]

Roate\Scale矩阵分离基础

a. Rotate矩阵的逆矩阵为自身的转置矩阵，
b. Scale矩阵的转置矩阵为自身本身
c. 所以Transpose（Rotate*Scale）= Transpose(Scale) *Transpose(Rotate) = Scale * Inverse(Rotate)
d. 对于逆矩阵而言：A * Inverse(A) = 单位矩阵; 对于矩阵乘法 A * B * C = A * (B * C)
e. 所以Transpose(Roate * Scale) * Rotate * Scale * = Scale * Inserse(Rotate) * Rotate * Scale * = Scale * 单位矩阵 * Scale = Scale * Scale

Scale矩阵分离

基于上面的推理，把3*3矩阵部分进行转制，然后乘原来的矩阵，得出Scale * Scale，而Scale矩阵本身就是只在对角线有值，各值开平方就得出了Scale矩阵

[m00, m10, m20]      [m00, m01, m02]                 [scale(x*x), 0, 0]
[m01, m11, m21] muti [m10, m11, m12] = scale*scale = [0, scale(y*y), 0]
[m02, m12, m22]      [m20, m21, m22]                 [0, 0, scale(z*z)]

Rotate矩阵分离

有了Scale矩阵，就可以简单的得出Scale矩阵的逆矩阵
[1/scale(x), 0, 0]
[0, 1/scale(y), 0]
[0, 0, 1/scale(y)]
有了scale逆矩阵就可以的出Rotate矩阵的逆矩阵
Roate * Scale * Inverse(scale) = Roate

[m00, m01, m02]      [1/scale(x), 0, 0]
[m10, m11, m12] muti [0, 1/scale(y), 0]    = Rotate
[m20, m21, m22]      [0, 0, 1/scale(y)]

(Owed by: 春夜喜雨 http://blog.csdn.net/chunyexiyu)

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