傅里叶变换

计算傅里叶变换

傅里叶变换

鉴于这种想法，任何信号，当然任何周期性信号，都可以由一系列正弦曲线组成，我们将开始从级数（Series）的概念转向连续信号的概念。我们将要讨论一些东西，这些东西可以让我们知道图像中任意给定频率的功率有多大。也就是说，我们想把图像从某样东西上变换过来，该东西是时间的函数，或者仅仅是空间的函数，从而知道它的频率是多少。这种变换被称为什么？它叫做傅里叶变换（Fourier Transform）。

现在我们做了傅里叶级数（Fourier series），然后我们进入傅里叶变换（Fourier Transform），再然后我们将进行离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT），这将使我们得到那个图像的东西。

所以我们想了解频率，频率通常被写成 $\omega$ （Omega），我们的信号。我们想要参数化，我们想要变换信号，而不是x，在空间中是通过 $\omega$ （Omega）。我们通过所谓的傅里叶变换（Fourier Transform）来实现这一点，傅里叶变换会拿一些空间信号，

并且它将为我们提供一些特性，这些特性可以给每个给定 $\omega$ （Omega）的相位 $\varphi$ 和幅度 $A$ 进行编码。

好的，所以我们需要给定每个 $\omega$ （Omega）的相位 $\varphi$ 和幅度 $A$ 。特别是每个 $\omega$ （Omega）从0到无穷大，实际上它是从负无穷大到无穷大（ $-\infty$ 到 $+\infty$ ）。这个想法是 $f(\omega)$ 保存了正弦曲线相应的幅度 $A$ 和相位 $\varphi$ 。因此，这个 $f$ 必须拥有幅度 $A$ 和相位 $\varphi$ 。

$f$ 如何保留振幅和相位？复数的把戏（Complex number trick!）。注意，我没有说过一个单独的数字。因为请记住， $f(x)$ 只是F的值，所以它是一个数字， $f(\omega)$ 将是幅度和相位，我们该怎么做？非常好，实际上，大写字母F实际上是一个复数。现在，希望您能记住关于复数的一些知识。如果没有，我会给你一个非常简短的回顾。所以基本上， $f(\omega)$ 由两部分组成：一个实部（Real Part），另一个是虚部（Imaginary Part）。

所以请记住： $A+Bi$ ，在这种情况下， $f(\omega)$ 的实部加上虚部，也许你还记得复数的大小就是两个元素之和的平方根。通常是 $\sqrt{A^2+B^2}$ ，这里是 $\sqrt{R^2+I^2}$ 。

$R$ 代表实部， $I$ 是虚部，相位之间的关系将以这种方式编写，相位 $\varphi$ 是虚部比实部的反正切。

这里遗漏的点是：实部归因于偶函数（Even），虚部归因于奇函数（Odd），

所有这意味着：如果我在这里有一个函数，是我的cosign函数，这是关于原点对称的。

正弦曲线，我要把它们拧紧，因为它必须到这里，

然后在那里，

再然后，所以它必须是0（zero），在这里，这是我的正弦曲线，因为当那个东西高时，它必须降到0，奇怪的是，Sin (- x) 等于 -Sin (x) ，而 Cos (- x) 等于 Cos (x)。

所以最后的这个部分（如图），

实部是余弦部分（Cosin），

虚部是正弦部分（Sine）。

计算傅里叶变换

当我们进行傅里叶变换时，我们所做的只是计算基集。我会告诉你我的意思。看到这个丑陋，丑陋的整体吗？

好吧，我得到的是，我已经得到了一个函数的正弦值，另一个函数的正弦值。，

两个不同的频率， $a$ 和 $b$ ，

我将这一点从负无穷大加到正无穷大，

我声称如果 $a$ 不等于 $b$ ，它等于0。

为什么这是正确的呢？有猜测吗? 让我们直观地思考一下，如果有一个正弦曲线，

现在我必须做一个不同的频率，这很容易，

天啊，真漂亮！哈哈？在本质上，在某个点上，当这个是正的这个是相同的正值，我会试着找到，希望有一些是正的，

我必须补上一个点。对，让我们假装红色的东西在这里下来就像那样一点点。

当红色的点是正数时，黄色的点是负数，

所以这两个数的乘积会相互抵消，这是一种波浪的方式表示整个积分是0，只要 $a$ $\neq$ $b$ 。

但是你可能会问当 $a=b$ 时会发生什么?

我们先假设它们处于相同的相位，完全相同的相位。好吧，它就是Sin²。Sin²是正的，在无穷远处求和，得到什么？你得到无穷大。所以，如果你有两个频率相同的正弦波，你会得到一个无穷大的值。除非它们完全不相合，在这种情况下是0。换句话说，Sin乘以Cos继续下去。但最基本的思路是，如果我整合一个函数，如果它是由一个与 $\omega$ 不同的正弦曲线组成的，当我采用 $\omega$ 的正弦并且我完全间隔时，我什么也得不到。但是如果它是等于那个正弦，我会得到无穷大。而且这将是这样写的。

所以让我们做一个简单的例子。假设有一个简单的函数： $f(x)=cos(2 \pi \omega x)$ ，

然后我们选一些频率，我们把它叫做 $u$ ，简单点。

如果我取这个积分，Okay。那么如果 $u$ 等于那个相同的 $\omega$ 那将是无穷的，否则它将是零。

所以看起来像这样， Okay。我们只有这两个成员脉冲。这里只有这两个无穷大的尖峰。

这被称为与余弦对应的脉冲。你可以看到它们是正的，这是因为它是余弦。

如果我们有一个正弦，因为 $sin (- x) = - sin (x)$ ，它看起来就像在这里的向上，

和另一个将会在这里向下。

这就是正弦，Okay。这就是虚部部分。两个公式如下：

我们只是在计算一个基集来说明这个正弦曲线有多少。我们可以为所有频率做到这一点。但是你可能会问，我们不是也必须为所有相位做到这一点吗？

答案是否定的。最酷的事情之一是，如果我有 $cos(\omega x)$ 和 $sin(\omega x)$ 。所以1是90度或两相相变的功率。我可以通过它们的线性组合得到任意相位。你可以证明，这是真的，我们可以做一个小演示。但基本上，如果我有一个任意相位的正弦曲线，如果你告诉我它对余弦的积分是多少、它对正弦的积分是多少，我就能告诉你这个正弦曲线的相位是多少。

复数的基础：

https://blog.csdn.net/sw3300255/article/details/83149483

——学会编写自己的代码，才能练出真功夫。

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