傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波变换

顺序：傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序

转载自形象易懂的傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换本文作者按照傅里叶-短时傅里叶变换-小波变换的顺序，由浅到深的解释小波变换的缘由以及思路。https://mp.weixin.qq.com/s/CRqhHIlYYRjYJ64PZZnUkQ

1，傅里叶变换

基本概念不再叙述，傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是@方沁园所说的，“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。

如果信号的频率是随着时间变化的非平稳信号，如下图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。

我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。在自然界当中很多都是非平稳的信号，比如在处理生物医学信号分析等领域的论文当中，基本看不到单纯的傅里叶变化的这种方法。

下图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

2，短时傅里叶变换 short-time fourier transform STFT

一个简单的方法就是进行加窗，又要套用方沁园同学的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。

时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了

但是还存在窗长取多少的问题，如果框太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，那么频率分辨率就会比较差。如果太宽，时域分辨率就会比较差。

解释：这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的

上图对同一个信号（4个频率成分）采用不同宽度的窗做STFT，结果如右图。用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。

3，小波变换

为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重，STFT做不到正交化，这也是它的一大缺陷。

小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了

【回顾傅里叶变换为何能够得到各个频率成分】

傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数，

基函数能够进行伸缩、平移，本质上并非平移，而是正交基的分解。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分多少。这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性

上面的这两种尺度大小都可以乘出来一个大的值，相关度比较高，所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上会在这两个频率的地方出现峰。这就是粗浅意义上的傅里叶变换。

小波变换

从该公式可以看到，和傅里叶变换是不同的，傅里叶变换的变量只有w频率，而小波变换有两个变量，尺度a——scale 以及平移量t,translation。尺度控制着小波函数的伸缩，平移量控制着小波函数的平移。尺度和频率呈现反比。平移量对应时间。

如下图，如果伸缩平移到了这样的情况，也会相乘得到一个较大的值，和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。

而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。做傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！

这是小波变换得到的图像

要注意区分时域图、小波图像变换图像以及傅里叶变换得到的频谱图的差别。

小波还有一些好处，比如，我们知道对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号。突变的信号具有无穷的频率成分，比如方波和阶跃信号。

信号采集系统只能采集一定频率范围内的信号，这将导致出现频率截断，频率截断会引起时域信号产生“振铃效应”，这个现象称之为吉布斯现象。

信号的幅值出现变化或者完全不变化，这依赖于信号的瞬变时刻与数据采样点数的相对关系。当使用少于合适数目的频率成分来描述信号时（即，用来描述方波的三角函数的数量不够多），就会产生振铃效应。随着正弦波数量的增加，叠加后的信号越来越接近方波信号，振铃现象越来越弱，振荡的幅值越来越小，持续时间越来越短，信号的斜率越来越陡峭。

吉布斯现象解释：什么是吉布斯现象？ - 知乎在测量转速时，我们经常会看到在方波脉冲的转折处信号出现明显的振荡，如图1所示。另外在进行锤击试验时，有的时候力脉冲也会在脉冲的末端位置出现振荡，如图2所示。我们已经知道力脉冲出现振荡现象称之为“振铃现…https://zhuanlan.zhihu.com/p/44515339

对于衰减的小波而言，不太一样

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