ADC的过采样与欠采样

在选择一个 ADC时，采样频率 fs是我们最优先考虑的参数。连续的模拟信号以时间间隔 ts = 1/fs被采样，究竟什么样的采样频率才能保证精确地描述原始模拟信号？很显然，同一时间段内采样越多（采样频率越高），模拟信号的数字表示就越精确。如果采样较少（采样频率越低），则少到一定程度时，模拟信号的关键信息将因得不到采样而丢失。奈奎斯特（Nyquist）采样定律和香农（Shannon）采样定律阐述了对采样信号的频率要求，奠定了采样的数学基础。

奈奎斯特采样定律：
- 如果采样频率小于最大感兴趣模拟信号频率的两倍，将会出现一种称为“混叠”的现象。如果不希望避免感兴趣的信号发生混叠现象，采样频率 fs至少是该信号所含最高频率 fh的两倍。
香农采样定律：
- 对带宽为 fa的信号进行采样，采样频率 fs应不小于 2倍的 fa，否则会导致信息的丢失。
- 信号带宽 fa可以是从 0（直流）到 fa，或从 fl到 fh（带通信号），此时 fa = fh - fl。

a)表示采样频率 fs > 2fh时的情况，采样频率确保了每个模拟信号周期内有大于 2个采样点，原信号的信息可以被正确还原，这种情况也称为过采样；在 b)中，采样频率fs < 2fh，信号被重构为频率小于原频率的信号，这种情况也可被称作欠采样。欠采样时发生的频率偏移现象叫做混叠。

为了更好地理解采样与混叠，我们从频域上对采样定理做一些分析。图中上方是一个DC到 fh的信号的时域波形，右边是该信号相对应的频域信号波形。第一行 F(u)是被采样信号 I(x)的频域响应，第二行中 S(x)是采样信号的时域信号，是一组间隔为∆x的脉冲信号，它的频域响应 S(u)也是一组脉冲信号，但间隔变为 1/∆x。根据傅里叶变换的法则，时域中相乘相当于频域中做卷积，因此第三行中被采样之后的信号对应的频域响应成为了频域中的周期性重复信号，其间隔为 1/∆x亦即采样频率 fs。也就是说时域中对信号进行离散化相当于频域中对信号周期化。下图表示的是过采样的情况，采样频率 fs > 2fh保证了被周期化之后的频域没有出现频谱重叠。

下面我们看一下 fs < 2fh时的情况，如下图所示。

在上图中，由于采样频率 fs较低，频域信号的周期间隔∆x（即 fs）也变小了。因此被采样信号在周期化之后，两个相邻周期的信号出现了混叠，见图中红色部分。这种情况下，出现混叠的信号在被还原时无法正确的还原出原信号的全部信息。

从上面的分析我们可以看到，时域上的等间距采样相当于频域里信号频谱的周期性搬移，这解释了混叠现象的发生。因此，对于 DC到 fh的信号采样来说，为确保正确还原出信号的全部信号，过采样是必须遵循的原则。而在对带通信号采样时，我们可以利用混叠来帮助我们降低系统的设计难度。下一节中我们就将介绍利用过采样与欠采样，以及他们各自的优缺点。

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