最短路径问题实现思路

把从一个顶点v0到到途中其余任意一点v1路径上所有边权值之和定义为该路径带权路径长度，带权路径长度最短的那条路径称作最短路径。
求解最短路径的算法通常依赖于一种性质，两点之间的最短路径也包含了路径上其它顶点的最短路径。
带权有向图最短路径问题分为两类：
1、单源最短路径
2、每一对顶点间的最短路径

Dijkstra算法求单源最短路径问题

求带权有向图某个源点到其余各顶点的最短路径，常用Dijkstra算法。
先以一个例子理清算法执行过程，再看概念
dist[i]表示源点到顶点i的当前最短路径长度，初始值为0
arcs[i][j]表示有向边<i,j>的权值，不存在记为∞
1、首先将源点顶点1加入集合S
2、计算出源点到S外其他顶点的路径长度,
顶点1-顶点2：dist[2]=10
顶点1-顶点5：dist[5]=5
顶点1-顶点3：dist[3]=∞
顶点1-顶点4：dist[4]=∞ （到此算是初始化）
源点-顶点5当前路径长度最短，故将顶点5加入S
3、修改从源点1到S外顶点2、3、4可达的最短路径长度，即
因为dist[5]+arcs[5][2]<dist[2],则dist[2]=dist[5]+arcs[5][2]=8
因为dist[5]+arcs[5][3]<dist[3],则dist[3]=dist[5]+arcs[5][3]=14
因为dist[5]+arcs[5][4]<dist[4],则dist[4]=dist[5]+arcs[5][4]=7
源点-顶点4当前路径长度最短，故将顶点4加入S
4、修改从源点1到S外顶点2、3可达的最短路径长度，即
因为dist[5]+arcs[5][2]<dist[2],则dist[2]=dist[5]+arcs[5][2]=8
因为dist[4]+arcs[4][2]>=dist[2],则dist[2]保持
因为dist[5]+arcs[5][3]>=dist[3],则dist[3]保持
因为dist[4]+arcs[4][3]<dist[3],则dist[3]=dist[4]+arcs[4][3]=13
源点-顶点2当前路径长度最短，故将顶点2加入S
4、修改从源点1到S外顶点3可达的最短路径长度，即
因为dist[5]+arcs[5][3]>=dist[3],则dist[3]保持
因为dist[4]+arcs[4][3]>=dist[3],则dist[3]保持
因为dist[2]+arcs[2][3]<dist[3],则dist[3]=dist[2]+arcs[2][3]=9

总结Dijkstra算法步骤

dist[i]表示源点到顶点i的当前最短路径长度，初始值为0
arcs[i][j]表示有向边<i,j>的权值，不存在记为∞
用集合S存储以求得最短路径的顶点，s[vi]=1表示将顶点i放入S中
path[i]表示从源点到所求顶点i最短路径，顶点i的前驱结点。算法结束之后，可根据此值追溯到从源点到所求结点的最短路径经过的顶点（这里不做说明）
实现思路：
1、初始化，集合S初始值为0，dist[]初始值dist[j]=arcs[0][j],如上例中的初始化
2、循环执行以下两步直到所有的点都包含：
1）从集合外的顶点中找出一个顶点vi,vi满足dist[i]最小，并将顶点i加入集合S中
2）修改从源点到S外所有顶点k的dist[vk]的值，修改规则如下：如若dist[i]+arcs[i][k]<dist[k],则dist[k]=dist[i]+arcs[i][k]，dist[i]是已加入集合的顶点的最短路径长度，dist[k]是S外所有顶点中某一个顶点的当前最短路径长度

边上带有负权值，此算法不适用

Floyd算法求各顶点之间最短路径问题

实现思路：实例加概念

拥有n个顶点的图，产生1个n阶方阵序列A0以及不停的迭代产生的A1、A2…An，
用Ak[i][j]表示从顶点vi到顶点vj的路径长度，从vi到vj之间经过的顶点序号数没有大于k的，其中的k表示加入顶点k作为中间顶点，加入规则如下：如果得到的路径比原来的路径长度减少，则新路径代替原来的路径
A0、A1…A（n-1）保存了任意一对顶点当前的最短路径长度，An保存了任意一对顶点最终的最短路径长度
上图的邻接矩阵也就是 A0

A0的基础上vi-vj中间经过顶点1的路径长度即A1

A1的基础上vi-vj中间经过顶点2的路径长度即A2

A2的基础上vi-vj中间经过顶点3的路径长度即A3

此算法允许带负权值的边，但不允许包含有负权值的边组成的回路