GNSS/INS组合导航（1）-- 姿态矩阵

对于开始接触惯性导航的人来说，姿态矩阵是必经之路。我在开始学习惯导的过程中，只是用姿态矩阵，但没具体去研究其对应欧拉角旋转方式，最近把自己绕晕了，所以推导完后记录一下自己对欧拉角与旋转矩阵理解，重点针对自己以往忽视的地方，防止再次遗忘，所以全文可能不会很通顺。在讲姿态矩阵之前，需要先了解一下姿态的基础知识。常用的姿态表示有三种形式：欧拉角、旋转矩阵、四元数，下图来自百度百科，分别表示了飞机的横滚角、俯仰角与偏航角，这就是欧拉角所表示的姿态，将三个欧拉角按照一定的顺序旋转，就可以将一个坐标系下的坐标变换到对应的另一个坐标系下。但是，欧拉角存在万向节死锁问题（详见欧拉角万向节死锁 - 知乎），所以，很多时候会用三维旋转矩阵或者四元数来代替欧拉角进行计算，这也意味着它们之间是可以相互转换的。

欧拉角是由Leonhard Euler 提出的概念，用来描述刚体/移动坐标系在一个固定坐标系中的姿态.简单的说是使用XYZ三个轴的旋转分量，来描述一个6自由度的旋转。

欧拉角一般具有两大类表示方式,每类按照旋转次序的不同分为6小类：

Proper Euler angles (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)

Tait–Bryan angles (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).

每个大类都使用了3个变量描述三次旋转过程中的旋转角度，差别在于Proper Euler angles只涉及两个转轴，而Tait–Bryan angles涉及三个转轴。一般在导航中用的的是Tait–Bryan angles，这种旋转方式对应的三个轴的转角也就是我们上文所提及的姿态角：横滚角、俯仰角与偏航角。

除了旋转顺序，欧拉角的旋转还需要注意的是旋转方式，即内旋和外旋。如下图所示，两行都是按照Z-Y顺序旋转，不同的是上面一行的第二次旋转是按照旋转之后的Y轴旋转，而下面一行是按照绕Z轴旋转之前的Y轴进行的旋转，所以，上面一行的旋转被称为内旋（按照坐标系自己的轴向旋转），而下面则被称为外旋（按照参考坐标系的轴向旋转）。

这样，按照旋转角，旋转顺序，旋转方式便能确定一组欧拉角的旋转。

关于旋转角与旋转矩阵的对应关系，需要注意的是坐标旋转和坐标系旋转的区别，两个矩阵互为转置，一定要搞明白坐标旋转与坐标系旋转的区别_https://github.com/heatMa-CSDN博客_坐标旋转写的比较清楚，这里直接给出二维坐标系的旋转矩阵：

该矩阵表示坐标系a顺时针旋转得到坐标系b。将之拓展至三维坐标系下，可以得到对于右手坐标系的三维旋转矩阵：

（1）绕X轴顺时针旋转角

（2）绕Y轴顺时针旋转角

（3）绕Z轴顺时针旋转角

上述旋转矩阵中，同样是顺时针旋转，Y轴的旋转矩阵与X、Z轴不同，有兴趣的读者可以自己旋转一下，看看为什么不同。将三个旋转矩阵按照Z-Y-X的顺序进行连乘，就可以得到三维坐标系的最终旋转矩阵：

在惯性导航中，姿态角就是n系旋转到b系的角度。按照上文求取旋转矩阵的方法，现有姿态角，，，将n系按照Z-Y-X轴旋转顺序，内旋、、，即可得到n系到b系的旋转矩阵。该矩阵即惯性导航中定义的姿态矩阵，该矩阵对应姿态角（，，）（有些学者会将该矩阵的转置矩阵记作姿态矩阵）。已知n系下的姿态角，b系到n系的旋转则是按照X-Y-Z轴分别旋转（）。

在载体运动过程中，b系固联于载体，所以b系是不断变化的，而n系是不变的，所以，通过矩阵就可以惯导测得的b系下运动变化量转换到n系下，从而得到导航所需要的n系坐标和速度。

参考：

[1]百度百科-欧拉角

[2]严恭敏. 捷联惯导算法及车载组合导航系统研究[D]. 西北工业大学.

[3]欧拉角细节/旋转顺序/内旋外旋 - 知乎

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