线性插值

数学上定义:线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式,其在插值节点上的插值误差为0;
在图片上，我们利用线性插值的算法，可以减少图片的锯齿,模糊图片;

线性插值的计算规则

假设我们已知坐标 (x0, y0) 与 (x1, y1)，要得到 [x0, x1] 区间内某一位置 x 在直线上的值。根据图中所示，我们得到：

由于 x 值已知，所以可以从公式得到 y 的值:

抛物线插值（可推广至高次插值）

设在区间 $[a,b]$ 上给定n+1个点 $a\leq x_0 < x_1 < \cdots <x_n \leq b$ 上的函数值 $y_i=f(x_i),%u6C42%u6B21%u6570%u4E0D%u8D85%u8FC7n%u7684%u591A%u9879%u5F0F%uFF0C%u4F7F%u5F97P(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots$ 求次数不超过n的多项式，使得

$P(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots,n$ ,由此可得到关于系数 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 的n+1元线性方程组

$\left\{ \begin{array}{l} a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n=y_0 \\ a_0+a_1x_1+\cdots+a_nx_1^n=y_1\\ \vdots\\ a_0+a_1x_n+\cdots+a_nx_n^n=y_n\\ \end{array} \right.$

此方程组的系数矩阵为范德蒙德矩阵,表示为

$A=\begin{bmatrix} 1 & x_0 &\cdots&x_0^n \\ 1 & x_1 &\cdots& x_1^n \\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ 1 & x_n & \cdots & x_n^n \end{bmatrix}$

由于 $x_i(i=0,1,\cdots,n)$ 互异，故

$detA=\prod _{\substack{i,j=0 \\i>j}}^n(x_i-x_j) \neq 0$

因此，线性方程组的解存在且唯一，故插值多项式 $P(x)$ 存在唯一

注：显然直接求解方程组可以得到插值多项式 $P(x)$ ，但这是求插值多项式最蠢的方法，一般不采用，常用的是拉格朗日插值法或牛顿插值

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