数值分析：插值与拟合

插值

插值函数：存在简单易算的函数p(x)p(x)p(x),使得p(xi)=f(xi)p(x_i)=f(x_i)p(xi)=f(xi),则p(x)p(x)p(x)称为f(x)f(x)f(x)的插值函数。求p(x)p(x)p(x)的方法就是插值法。

插值图示：插值函数必须要经过插值节点处的函数值

常用的插值方法是按照所使用的插值函数来分类的，包括：

多项式插值

p(x)p(x)p(x)为多项式，最常用

多项式插值的存在唯一性定理

已知n+1n+1n+1个插值节点，则存在一个不超过nnn次的多项式p(x)=c0+c1x+...+cnxnp(x)=c_0+c_1x+...+c_nx^np(x)=c0+c1x+...+cnxn满足插值条件，且这个函数是唯一的。

线性插值（一次多项式）
抛物线插值（二次多项式）

由对以上两种插值法的观察引出基函数插值法

在基函数插值法中，我们将插值多项式表示为：p(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+...+anzn(x)p(x)=a_0z_0(x)+a_1z_1(x)+...+a_nz_n(x)p(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+...+anzn(x), z0(x)，...zn(x)z_0(x)，...z_n(x)z0(x)，...zn(x)是一组基函数(Hn(x)的一组基，Hn(x)是一个n+1维的线性空间，包含了次数不超过n的全体多项式H_n(x)的一组基，H_n(x)是一个n+1维的线性空间，包含了次数不超过n的全体多项式Hn(x)的一组基，Hn(x)是一个n+1维的线性空间，包含了次数不超过n的全体多项式)（待充实？？？？？）

多项式p(x)=c0+c1x+...+cnxnp(x)=c_0+c_1x+...+c_nx^np(x)=c0+c1x+...+cnxn就可以看作是以1,x,...xn1,x,...x^n1,x,...xn为基函数

基函数插值法的重点是两个问题：

寻找合适的基函数
确定插值多项式在这组基函数下的线性表出系数

根据基函数的不同，有以下基函数插值法：

Lagrange插值

使用Lagrange插值基函数计算插值多项式的方法

优点：简单，可以直接写出插值多项式;计算机实现也简单

缺点：如果增加一个节点，全部插值基函数都要重新计算，很不方便，Newton插值可以避免这个问题

Newton插值

这里介绍了使用差商来得到Newton插值多项式的方法

优点：增加一个节点时，Newton插值公式只需在最后添加一项。但要注意新增节点需在已有插值节点之后

这里介绍下Hermite插值,不仅要求函数值相等，而且要求若干阶导数也相等的插值，称为Hermite插值

两种典型的Hermite插值：

三点三次Hermite插值

插值节点x0,x1,x2x_0,x_1,x_2x0,x1,x2,要求在x1x_1x1处，插值函数同原函数1阶导数相等
两点三次Hermite插值

插值节点x0,x1x_0,x_1x0,x1,要求在x0,x1x_0,x_1x0,x1处，插值函数同原函数1阶导数相等

多项式插值使用的注意事项：p(x)p(x)p(x)并非次数越高越好，高次多项式插值存在稳定性、大幅度震荡等问题，实际中很少使用

那么怎么处理这种情形？就是下面要讲的，使用使用分段低次多项式来逼近原函数

分段多项式插值

常用有以下方法：

分段线性插值

每个小区间上使用一次多项式插值

分段三次Hermite插值

每个小区间上使用两点三次Hermite多项式插值（需要额外信息：插值点的导数）

以上两种方法，分段线性插值保证了插值函数整体连续性，三次Hermite插值保证了插值函数整体一阶连续可导，已经是比较实用的插值方法。但在某些应用中，如机翼设计，对插值函数光滑性具有更高的要求，这就需要用到三次样条插值。

三次样条插值

要求插值函数在整个插值区间上二阶连续可导。在每个小区间上是三次多项式

求解三次样条插值，需要用到边界条件，即对样条函数在两个端点处的状态约束。

拟合

理清两个概念

函数逼近

给定f(x)f(x)f(x),在某个简单易算的函数类中找到一个p(x)p(x)p(x),使得p(x)p(x)p(x)在某种度量下距离f(x)f(x)f(x)最近
曲线拟合

给定带误差的数据项,在某个简单易算的函数类中找到一个p(x)p(x)p(x),使得p(x)p(x)p(x)在某种度量下距离f(x)f(x)f(x)最近

逼近与拟合的两个关键点：

确定函数空间，即找一个什么样的函数来逼近f(x)f(x)f(x)。这对于数据拟合问题尤其重要，通常需要根据数据的分布情况来确定函数空间的选取。
确定距离的度量标准

预备知识

线性空间

两个重要的线性空间：

C[a,b],区间[a,b]上的连续函数空间C[a,b],区间[a,b]上的连续函数空间C[a,b],区间[a,b]上的连续函数空间
Rn,n维实向量空间R^n,n维实向量空间Rn,n维实向量空间

内积空间

常见内积：

RnR^nRn
(x,y)=yTx(x,y)=y^Tx (x,y)=yTx
C[a,b]C[a,b]C[a,b]
(f,g)=∫abf(x)g(x)dx(f,g)=\int_a^bf(x)g(x)dx (f,g)=∫abf(x)g(x)dx

定义了内积的线性空间称为内积空间

其他跟内积相关的概念：

正交
Cauchy-Schwarz不等式

最小二乘拟合

用正交多项式做最小二乘拟合

MATLAB 中使用正交多项式做最小二乘拟合的函数: polyfit(x,y,n)
非线性最小二乘

使用非线性函数做最小二乘拟合