考试要求

求图的边色数和点色数（结构分析法）
色多项式（以前考现在了解）
应用题：画图，问题转换

一、图的边着色

\quad边色数：给图边上色，使得相邻边颜色不同所需要的颜色最少种数。记为χ′(G)χ'(G)χ′(G)
\quad对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是匹配);图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。因此，图的边着色，本质上是对应实际问题中的“划分”问题或“分类”问题。
\quad偶图的边色数：χ′(G)=Δχ'(G)=\Deltaχ′(G)=Δ
\quad对于简单图G，则χ′(G)=Δ或者χ′(G)=Δ+1χ'(G)=\Delta或者 χ'(G)=\Delta+1χ′(G)=Δ或者χ′(G)=Δ+1(维津定理)

三类简单图的边色数

设G是单图且Δ(G)>0。若G中只有一个最大度点或恰有两个相邻的最大度点，则：χ′(G)=Δχ'(G)=\Deltaχ′(G)=Δ
设G是单图。若点数n=2k+1且边数m>kΔ,则：χ′(G)=Δ+1χ'(G)=\Delta+1χ′(G)=Δ+1
设G是奇数阶Δ正则单图,若Δ>0,则：χ′(G)=Δ+1χ'(G)=\Delta+1χ′(G)=Δ+1

二、图的顶点着色

\quad点色数：给图顶点上色，使得相邻顶点颜色不同所需要的颜色最少种数。记为χ(G)χ(G)χ(G)
点色数上界的几个定理：

对于任意的图G，有：χ(G)≤Δ+1χ(G)\le \Delta+1χ(G)≤Δ+1
若G是连通的单图，并且它既不是奇圈，又不是完全图，则：χ(G)≤Δχ(G)\le \Deltaχ(G)≤Δ(布鲁克斯定理)
设G是非空简单图，若G中最大度点互不邻接，则有：χ(G)≤Δχ(G)\le \Deltaχ(G)≤Δ
定义次大度Δ2(G)\Delta_2(G)Δ2(G)为最大度顶点u的所有相邻顶点中度数最大的那个顶点的度数值。如下图：

\quad图中G1的次大度为1，G2 的为3。定义次大度后我们可以得到简单图的点色数的改进版上界，即χ(G)≤Δ2(G)+1χ(G)\le \Delta_2(G)+1χ(G)≤Δ2(G)+1

三、色多项式

概念：所谓色计数，就是给定标定图G和颜色数k,求出正常顶点着色的方式数。方式数用Pk(G)P_k(G)Pk(G)表示。由点色数χ(G)χ(G)χ(G)和Pk(G)P_k(G)Pk(G)定义可得：

若k<Pk(G)k<P_k(G)k<Pk(G)则Pk(G)=0P_k(G)=0Pk(G)=0
若G为空图则Pk(G)=KnP_k(G)=K^nPk(G)=Kn
Pk(Kn)=k(k−1)⋯(k−n+1)P_k(K_n)=k(k-1)\cdots (k-n+1)Pk(Kn)=k(k−1)⋯(k−n+1)
运用理想子图计数法求色多项式
定义：设H是图G的生成子图。若H的每个分支均为完全图，则称H是G的一个理想子图。用Nr(G)N_ r (G)Nr(G)表示G的具有 r 个分支的理想子图的个数。如下图给出示例：

现在，我们借助上述定义给出Pk(G)P_k(G)Pk(G)Pk(G)=∑inNi(G‾)[k]i,[k]i=k(k−1)(k−2)⋯(k−i+1)P_k(G)=\sum_i^n N_i(\overline{G})[k]_i,[k]_i=k(k-1)(k-2)\cdots (k-i+1)Pk(G)=i∑nNi(G)[k]i,[k]i=k(k−1)(k−2)⋯(k−i+1)因此，求图的Pk(G)P_k(G)Pk(G)可以分为三步完成
画出G的补图G‾\overline{G}G
找出G‾\overline{G}G的Ni(G‾)N_ i (\overline{G})Ni(G)
带入公式化简即可得到色多项式

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