图论学习--7 图的着色(思维导图)边着色 点着色 色多项式 临界图与完美图
图的着色
图的边着色
相关概念
正常边着色
- 对G的边进行染色,相邻边染不同颜色(G不能有自环)
- 用k种颜色对图G进行正常边着色,则称G是k边可着色的
- 其实是边集合的一种划分
边色数
- 对G进行正常边着色的最少颜色数,记为χ‘(G)
色组
- 相同颜色的边集
π
- 一种边着色方案
u缺i色
- 设点u关联的边的着色没有用到色i,则称u缺i色
特殊图的边色数
完全二部图
定理1:χ’(K,m,n)=△
- 证明:很显然,因为完全二部图嘛,所以最大度的点必须要有n个颜色(n>m)
二部图
定理2:G是二部图,则χ'(G)=△
- 证明:数学归纳法
- 其实也是必须要有这个方法
简单图
引理:简单图,x,y不相邻,π是G的一个正常k边着色,对π,x,y以及x相邻点均至少缺少一种颜色,则G+xy是k边可着色
-
- 就不证明了
定理3:若G是简单图,则其边色数χ'(G)=△或△+1
- 证明:最大度的话显然,因为最大度的点显然要最大度种颜色才能正常染色,只要证明≤最大度+1就行,用数学归纳法,然后减边时用引理来证明
- 最大度是第一类图,最大度+1是第二类图
最大度点只有一个,或两个相邻
定理4:G是简单图且最大度大于0,若G中只有一个最大度点或恰有两个相邻的最大度点,则χ'(G)=△
- 减去最大度点和其邻接点的一条边,然后用引理来证明
顶点数和边数有关系
- 定理5:设图G是简单图,若顶点数n=2k+1且边数m>k△,则χ'(G)=△+1
奇数阶正则简单图
χ‘(G)=△+1
- 由定理5可证
注意,奇数阶哦
无环有重边图
- 无环图G中边的最大重数为μ,则χ‘(G)≤△+μ
图的顶点着色
基本概念
正常点着色
- 每个顶点着色,且相邻顶点着不同颜色
点色数χ(G)
- 和边色数的区别在于少一点
色组
- 也叫点独立集
顶点着色时有重边无影响
点色数的结论
定理1:对任意的图G,有χ(G)≤△+1
- 最大度+1,1是自己
G的△(G)+1正常点着色算法
- 从第一个点开始,每次都给i点标号为i的邻接顶点里未使用的最小色号,如此一直下去
定理2:若G是连通的简单图,并且它既不是奇圈,又不是完全图,则χ(G)≤△
五色定理
- 定理4:每个平面图都是5可着色的
根据平面图和其对偶图的关系,上面定理等价与每个平面图是5可顶点正常着色的
有一个事实,连通的平面图最小度≤5
- 可以反证,很容易推出其边数是≥3n的,超出了平面图边数的上界
临界图与完美图
临界图
对于图G的任意真子图H,都有χ(H)≤χ(G)
- 点色数为k的临界图称为k临界图
定理1:临界图的性质
- k色图均有k临界子图
- 每个临界图均为简单连通图
- 若G是k临界图,则δ≥k-1
推论:每个k色图至少有k个度不小于k-1的顶点
- 废话
临界图没有割点
不含三角形的k色图
- 这有什么用···
- 对任意正整数k,存在不含三角形的k色图
完美图
团
- 顶点子集S导出的子图是完全图,则S是G的一个团
- 简单图G的最大团包含的顶点数为G的团数,记为cl(G)
- 显然,χ(G)≥cl(G)
完美图
- 设G是一个图,若对G的每个点导出子图H,均有χ(H)=cl(H),则称G为完美图
独立集
- G中互不邻接的顶点作成的子集称为G的一个点独立集
- G中含顶点数最多的点独立集称为G的最大独立集,其包含的顶点数称为独立数,α(G)
独立数的完美图
- 这里不想看了,估计不考
色多项式
概念
色多项式
- 给定图G和颜色数k,Pk(G)的值是所有正常顶点着色的方式数,Pk(G)是k的多项式
k<χ(G)时,Pk(G)=0
- χ(G)=min{k|Pk(G)≥1}
图G为空图,则Pk(G)=k^n
- Pk(Kn)=k(k-1)...(k-N+1)
色多项式的求法
递推计数法
定理1:G为简单图,则对任意e∈E(G)有:Pk(G)=Pk(G-e)-Pk(G·e)
- 和生成树那个很像
- 移项,然后变成加法的话更好理解
推论:设G是简单图,e=uv是G的一条边,且d(u)=1,则Pk(G)=(k-1)Pk(G-u)
- 很简单,因为u有k-1中颜色涂法
- 悬挂的公式
使用分析
- 当图G的边数较少时,使用减边递推法
当图G的边数较多时,使用加边递推法
- 有可能变成完全图
理想子图计数法
基本概念
设H是图G的生成子图,若H的每个连通分支均为完全图,则称H是G的一个理想子图,用Nr(G)表示G的具有r个分支的理想子图的个数
- 这个只能观察枚举
设qr(G)表示将简单图G的顶点集合V划分为r个不同色组的划分个数,则qr(G)=Nr(G的补图)
- 一句话解释,很多色组,总的色组的划分个数和图G补图的具有r个分支的理想子图个数相等
- 一个色组中的点但是一个独立集,其子图全是孤立点,所以其补图是完全图,也就是理想子图
理想子图计数法
具体的算法
- 先求出补图,然后求出补图的ri,之后再写出伴随多项式,然后带入,最终得到结果
- 进行改进,在求ri时,分开求,直接求分支的ri,然后得出分支的伴随多项式,之后再相乘,最终就能得到最终的结果
记得结果合并同类项
色多项式的性质
- 非同构但是可以有相同的色多项式
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