利普希茨连续(Lipschitz continuity)和利普希茨常数(Lipschitz constant)

定义

给出两个 metric spaces (X,dX)(X,d_X)(X,dX) 和 (Y,dY)(Y,d_Y)(Y,dY)，其中 dXd_XdX代表 XXX 的 metric，dYd_YdY 代表 YYY 的 metric，如果存在一个实数 K≥0K\ge0K≥0，对于 XXX 所有的 x1x_1x1 和 x2x_2x2
dY(f(x1),f(x2))≤KdX(x1,x2)d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2) dY(f(x1),f(x2))≤KdX(x1,x2)

那么被称为利普希茨连续的函数 f:X→Yf:X\rightarrow Yf:X→Y

任何这样的 KKK 被称为函数 fff 的利普希茨常数(Lipschitz constant)

Lipschitz连续，要求函数图像的曲线上任意两点连线的斜率一致有界，就是任意的斜率都小于同一个常数，这个常数就是Lipschitz常数。

即，Lipschitz连续比一致连续要强。它限制了函数的局部变动幅度不能超过某常量。

从局部看：我们可以取两个充分接近的点，如果这个时候斜率的极限存在的话，这个斜率的极限就是这个点的导数。也就是说函数可导，又是Lipschitz连续，那么导数有界。反过来，如果可导函数，导数有界，可以推出函数Lipschitz连续。
从整体看：Lipschitz连续要求函数在无限的区间上不能有超过线性的增长，所以这些函数在无限区间上不是Lipschitz连续的。

特别地，如果存在一个正实数 K，对于所有的实数 x1x_1x1 和 x2:x_2:x2:
∣f(x1)−f(x2)∣≤K∣x1−x2∣|f(x_1)-f(x_2)|\le K|x_1-x_2| ∣f(x1)−f(x2)∣≤K∣x1−x2∣

这个个实值函数 f:R→Rf:R\rightarrow Rf:R→R 被称为利普希茨连续

在这个 case 中，Y 是 R 上的实数，有 the standard metric, dY(y1,y2)=∣y1−y2∣d_Y(y_1,y_2)=|y_1-y_2|dY(y1,y2)=∣y1−y2∣, X 是 R 的子集。

利普希茨连续(Lipschitz continuity)和利普希茨常数(Lipschitz constant)相关推荐

Lipschitz（利普希茨）连续
感谢博主,链接:http://blog.csdn.net/victoriaw/article/details/58006629
JZOJ 5236. 【NOIP2017模拟8.7A组】利普希茨
Description Input 输入文件名为lipschitz.in. 第一行一个整数n. 接下来一行n个整数,描述序列A. 第三行一个数q . 接下来q行,每行三个整数.其中第一个整数type表 ...
Jzoj5236 利普希茨
对于一个整数序列A,我们定义f(A)=max{floor(|Ai-Aj|/(j-i))},这里i<j 给出一个长度为n的序列A,有q此操作 1.修改一个元素的值 2.询问A的一段区间[l,r]组 ...
[jzoj5236]【NOIP2017模拟8.7A组】利普希茨
这道像数据结构的结论题传送门我觉得这断不能怪我一上来给出操作种类和 LogLog 形式的数据范围有如套路一般 Solution 60p 容易想到分治对于整个序列,可以割作三份,分界点为最大值和最 ...
JZOJ.5236【NOIP2017模拟8.7】利普希茨
Description Input 输入文件名为lipschitz.in. 第一行一个整数n. 接下来一行n个整数,描述序列A. 第三行一个数q . 接下来q行,每行三个整数.其中第一个整数type表 ...
利普希茨【NOIP2017模拟8.7A组】
题目 Input 输入文件名为lipschitz.in. 第一行一个整数n. 接下来一行n个整数,描述序列A. 第三行一个数q . 接下来q行,每行三个整数.其中第一个整数type表示操作的类型. t ...
jzoj5236. 【NOIP2017模拟8.7A组】利普希茨
Description Input 输入文件名为lipschitz.in. 第一行一个整数n. 接下来一行n个整数,描述序列A. 第三行一个数q . 接下来q行,每行三个整数.其中第一个整数type表 ...
【人工智能的数学基础】利普希茨连续条件(Lipschitz Continuity Condition)
文章目录 1. 利普希茨连续条件的定义 2. 神经网络中的利普希茨约束 3. 实现Lipschitz约束的方法 (1)权重裁剪 weight clipping (2)梯度惩罚 gradient pen ...
【优化】利普希茨连续（Lipschitz continuous）及其应用
利普希茨连续(Lipschitz continuous) 利普希茨连续的定义是:如果函数fff在区间QQQ上以常数LLL利普希茨连续,那么对于x,y∈Qx, y \in Qx,y∈Q,有:∣∣f(x) ...
利普希茨连续（Lipschitz continuous）及其应用
参考链接: https://www.zhihu.com/question/51809602 https://zhuanlan.zhihu.com/p/27554191 https://blog.csd ...

利普希茨连续(Lipschitz continuity)和利普希茨常数(Lipschitz constant)

定义

利普希茨连续(Lipschitz continuity)和利普希茨常数(Lipschitz constant)相关推荐

最新文章

热门文章