1.4 数列极限概念的推广

2024-05-13 13:32:35

1.4 数列极限概念的推广

本部分主要介绍《数学分析教程》1.4数列极限概念的推广，将前面介绍的收敛于a的极限概念推广到收敛于无穷值

定义

极限趋于+∞+\infty+∞：

对∀A>0\forall A>0∀A>0，∃N∈N∗\exists N\in N^{*}∃N∈N∗，当n>Nn>Nn>N时有an>Aa_{n}>Aan>A

极限趋于−∞-\infty−∞：

对∀A>0\forall A>0∀A>0，∃N∈N∗\exists N\in N^{*}∃N∈N∗，当n>Nn>Nn>N时有an<−Aa_{n}<-Aan<−A

极限趋于∞\infty∞：

对∀A>0\forall A>0∀A>0，∃N∈N∗\exists N\in N^{*}∃N∈N∗，当n>Nn>Nn>N时有∣an∣>A|a_{n}|>A∣an∣>A

性质

1. 如果{an}\{a_{n}\}{an}是无穷大，则{an}\{a_{n}\}{an}必然无界

但注意逆命题不成立，如1,0,2,0,3,0,...,n,01, 0, 2, 0, 3, 0,...,n, 01,0,2,0,3,0,...,n,0无界，但不是无穷大

2. 从无界数列中一定能选出一个子列是无穷大

3.
如果lim⁡n→∞an=+∞\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=+\inftyn→∞liman=+∞（或−∞,∞-\infty, \infty−∞,∞），那么对{an}\{a_{n}\}{an}的任意子列{akn}\{a_{k_{n}}\}{akn}，有lim⁡n→∞akn=+∞\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{k_{n}}=+\inftyn→∞limakn=+∞（或−∞,∞-\infty, \infty−∞,∞）

4.
如果lim⁡n→∞an=+∞\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=+\inftyn→∞liman=+∞，lim⁡n→∞bn=+∞\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_{n}=+\inftyn→∞limbn=+∞，则lim⁡n→∞(an+bn)=+∞\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=+\inftyn→∞lim(an+bn)=+∞，lim⁡n→∞(anbn)=+∞\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n}b_{n})=+\inftyn→∞lim(anbn)=+∞

但要注意an−bna_{n}-b_{n}an−bn和anbn\frac{a_{n}}{b_{n}}bnan未必是无穷大，比如an=na_{n}=nan=n，bn=nb_{n}=nbn=n

5. {an}\{a_{n}\}{an}是无穷大⟺{1an}\iff\{\frac{1}{a_{n}}\}⟺{an1}是无穷小

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