解一元三次方程方程问题细节探讨

解一元三次方程

虽然我是一个新手，按”规矩“应该要经常在博客里面把自己的错误都写出来做个总结，但是我比较保守，总是觉得博客是一个社交平台，一些相对不太成熟的东西还是写个word文档自己存起来好，在博客里面发出来的都是一些比较有感悟、用心搞过的东西（虽然可能还是不成熟的）。总而言之，用心创作，如有错漏，请多见谅、多指正。

前排放一下试错的过程：（其实我还拿洛谷试验了几次）
这道题之所以试验了这么多次（都是掩饰，倒不如说是WA了这么多次），就是因为反复试了很多细节。所以说，dalao们觉得平平无奇、不言自明的东西，到了新手那里都成了细节和新鲜事物（捂脸）。
那么这个题我到底品出来多少细节呢？直接上一段最终的代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
double a,b,c,d;
int count;
double ans(double x){return x * x * x * a + x * x * b + x * c + d;
}
void divide(double x1,double x2){if(x2 - x1 < 0.001){ //细节1 if(count > 0) printf(" ");printf("%.2lf",x1),count++;return;}double mid = (x1 + x2) / 2;if(ans(x1) * ans(mid) <= 0) divide(x1,mid);else if(ans(x2) * ans(mid) <= 0) divide(mid,x2);//细节2
}
void solve(double x,double y){//细节3 double i;for(i = x;i <= y - 1 && count < 3;i++){if(ans(i) * ans(i + 1) <= 0) divide(i,i + 1);i += 0.5;//细节4 }
}
int main(){scanf("%lf %lf %lf %lf",&a,&b,&c,&d);//细节5 solve(-100,100);return 0;
}

（u1s1，我觉得五个细节试了十五六次也不算多）
接下来我们就分别讨论一下这五个细节。
首先这个题范围如此之大，假如要暴搜的话最坏的情况需要搜上20000次，肯定TLE无疑，因此显然是个分治（更有说服力的解释是，这个题是分治里面的题）。
有了这个思路，才好去看一些实际操作中的细节。
先从细节3、细节5开始，这俩其实异曲同工，说的都是变量类型的问题。细节3指的是，不要忘记函数的变量和放进去的变量要是同一个类型的；细节5指的是，如果想进行浮点数运算，就不要把浮点数跟整形混一起算（大多数需要浮点的题基本上输入也有浮点）。这些东西虽然是基础，但是对于一个新手还是经常错，而且这个还不太容易察觉（举个最浅显的例子，虽然我现在还是会scanf忘记打&，但是程序一输入就报错就会第一时间找自己是不是没有打&；不过如果是printf加了&，一般就很长时间才能发现，因为能让一段平常的代码输出一对很鬼畜的东西的不止这个），所以值得拿出来说一说。另外，一般把整型转成浮点最方便的方法就是*1.0，但是千万不要给写成 *0.1，以及像这种题通常都是要算一下百分比，还得记得 *100……
接下来的两个是细节1、细节4，这两个都与四舍五入有关系。
当年高中老师在信息课上讲Python的时候，曾经说过一个整数的四舍五入的很好的方法：把这个数据+0.5，然后取整。然而在细节1中我们直接取到了0.001而不是0.005（尽管这俩都能过），这是因为double取值的时候会自动的四舍五入而不是像整型的除法或者ceil那样简单粗暴的向下或上取整，因此如果出现正好卡在千分位是4或5的时候，取到0.005就会导致这个数从向下的那一边给拉到了向上的一边，而如果已经小于0.001了，那么这个数连千分位都可以说是确定的（或者说，其实更科学的取法应该是取到0.0005？），因此我们随便从x1、x2里面挑一个就行了。至于为什么不给x1加个数输出来替换掉这个膨胀的寻找范围，正如上所述，如果范围不够小，而加上的数又比较大（这里我认为超过0.001的都叫做大）很难保证这个区间内的随便哪一个值加上这个预设的数都不会移位；但是如果加上的数小，那么加与不加还有什么区别呢？结果还是不能保证这个区间内所有的数加上了都可以在正确的一侧，因为这个区间本身就太大了，要是把区间取得足够小，也就不必再费心考虑这个加一个数的问题了。
至于细节4，这个操作可能看起来比较迷惑，但是是有用处的。由于细节1，我们不得不把区间取得很小，加上这道题的限制是两个解的差至少是1，因此一个区间[i,i+1]搜过之后，如果这个解恰好就卡在i+1上，那么下次搜[i+1,i+2]的时候就会发生重复，所以如果确实找到一个解，就要额外增加一下i，人为防止出现取重的可能性。由于四舍五入原理加上原题的限制，我选择了+0.5，这是为了防止错过下一个区间的值而又可以防止取重复，如果+1的话就会导致跳过解的可能性。
最后一个就是细节2，也是整个题最玄学的一个点。我们一开始学二分的时候，老师都会特别提醒，说一定要在二分的时候写（l，mid）和（mid+1，r），千万不能把mid给丢了，否则会导致程序整个RE；然而这个题就是要写（l，mid）（mid，r），啥也不能加，0.01不行，0.001不行，连个基本已经没卵用的0.0001也不行，这是为什么？
要解答这个问题，我们需要知道基本的二分为什么一定要有这个+1（整型）。因为在一般的二分当中，结束条件的要求是极小，这个极小往往是l=r。如果不进行+1，就会导致l-r=1的时候总有mid和l的差值为1不变，结果这个二分就一直卡在这里，无法结束，直至RE。这种情况几乎会发生在每一个数据中，因此必须要+1。然而这题压根就不害怕自己mid取不出来，因为我们再怎么说，这个mid它是一个double，小数点后12位，万亿分位都能取，还怕这个才千分位的判断？而且我们并不需要取到l=r为止，只要取到一定范围之内就可以，同时mid的潜力完全可以满足这个范围的要求，因此不必要再加。既然可以不加，那么为什么加了就是不对呢？因为在加了之后，我们人为地改变了下一次的取值范围，这种改动一多，就会导致偏的越来越大，结果取不到需要的值，因为double毕竟是可以取12位，他允许我们忽略细节，自然就带来了巨大的误差空间，这个+0.001不要说是导致错过一些解，甚至都有可能导致一个区间直接被跳过去，尤其是如果某个解恰巧是个整数或者恰巧就等于r，这个加上的数就可能导致这个解被跳过去，不管到底加的是有多小（雄辩的事实是，尽管我加了个10^-12，也就是double的极限，还是能跳掉卡在r的整数解）。
以上就是这一道题产生的各种自认为所谓细节的讨论。总之其实多数还是一些基础性的问题，应该是平时要多注意的坑；其他的一些东西，就需要我们能严谨的思考，如果真出现了很玄学的东西，那我们也只能微笑着面对它，然后请它上博客“青史留名”了。
Thank you for reading！

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