1. 不定积分
- 1.1. 基本的不定积分公式
- 1.2. 不定积分的三大法宝
- - 1.2.1. 不定积分的线性运算法则
  - 1.2.2. 不定积分与凑微分（第一换元法）
  - 1.2.3. 不定积分的变量代换（第二换元法）
2. 定积分
- 2.1. 意义
- - 2.1.1. 几何意义
  - 2.1.2. 物理意义
- 2.2. 可积性
- - 2.2.1. 可积的必要条件
  - 2.2.2. 充分条件
- 2.3. 定积分的性质
- 2.4. 变上限积分
- - 2.4.1. 变上限函数
  - 2.4.2. 变上限求导定理
- 2.5. Newton-Leibniz公式

1. 不定积分

1.1. 基本的不定积分公式

下面我们把一众导数公式倒过来写。

1. ∫ 0 d x = C 2. ∫ 1 d x = ∫ d x = x + C 3. ∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C ( a ≠ − 1 ) 4. ∫ x − 1 d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C 5. ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C 6. ∫ e x d x = e x + C 7. ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C 8. ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C 9. ∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C 10. ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C 11. ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C 12. ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C 13. ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C = − a r c c o t x + C 1 14. ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C = − arccos ⁡ x + C 1 15. ∫ cosh ⁡ x d x = ∫ e x + e − x 2 = sinh ⁡ x + C 16. ∫ sinh ⁡ x d x = ∫ e x + e − x 2 = cosh ⁡ x + C \begin{aligned} &1.\int0\,\mathrm dx=C\\ &2.\int1\,\mathrm dx=\int \mathrm dx=x+C\\ &3.\int x^a\,\mathrm dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C(a\not=-1)\\ &4.\int x^{-1}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{x}\mathrm dx=\ln |x|+C\\ &5.\int a^x\,\mathrm dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ &6.\int e^x\,\mathrm dx=e^x+C\\ &7.\int \cos x\,\mathrm dx=\sin x+C\\ &8.\int \sin x\,\mathrm dx=-\cos x+C\\ &9.\int \sec^2x\,\mathrm dx=\tan x+C\\ &10.\int \csc^2x\,\mathrm dx=-\cot x+C\\ &11.\int\sec x\tan x\,\mathrm dx=\sec x+C\\ &12.\int\csc x\cot x\,\mathrm dx=-\csc x+C\\ &13.\int\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx=\arctan x+C=-\mathrm{arccot} x+C_1\\ &14.\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm dx=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1\\ &15.\int\cosh x\,\mathrm dx=\int\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\sinh x+C\\ &16.\int\sinh x\,\mathrm dx=\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x+C\\ \end{aligned} 1.∫0dx=C2.∫1dx=∫dx=x+C3.∫xadx=a+11xa+1+C(a=−1)4.∫x−1dx=∫x1dx=ln∣x∣+C5.∫axdx=lnaax+C6.∫exdx=ex+C7.∫cosxdx=sinx+C8.∫sinxdx=−cosx+C9.∫sec2xdx=tanx+C10.∫csc2xdx=−cotx+C11.∫secxtanxdx=secx+C12.∫cscxcotxdx=−cscx+C13.∫1+x21dx=arctanx+C=−arccotx+C114.∫1−x2 1dx=arcsinx+C=−arccosx+C115.∫coshxdx=∫2ex+e−x=sinhx+C16.∫sinhxdx=∫2ex+e−x=coshx+C

说明：
4：如果写成 ln ⁡ x + C \ln x+C lnx+C，那么显然原函数的定义域比被积函数要小。由于原函数定义域中部分点不可导，被积函数定义域一定小于原函数，故而这其中肯定有问题。
13： arctan ⁡ x + a r c c o t x = π 2 \arctan x+\mathrm{arccot}x=\frac{\pi}{2} arctanx+arccotx=2π
从这里我们可以有几点很有益的理解：

（不定积分正确的量标）两边求导后等式成立即可。
- 对这个式子，我们求导后知道，左边等于一个常数，然后代入特值即可。
此处的 C C C是可变常数，是函数类的标记。并不是一个恒定的常数，否则这里就会直接得出 arctan ⁡ x + a r c c o t x = 0 \arctan x+\mathrm{arccot}x=0 arctanx+arccotx=0的荒谬结果。

1.2. 不定积分的三大法宝

1.2.1. 不定积分的线性运算法则

（正是因为不定积分只有线性运算性质而没有乘除运算性质，所以会比导数运算麻烦很多）

若 ∫ f ( x ) d x , ∫ g ( x ) d x \int f(x)\,\mathrm dx,\int g(x)\,\mathrm dx ∫f(x)dx,∫g(x)dx均存在， ∀ α , β \forall \alpha,\beta ∀α,β为常数，（ α , β \alpha, \beta α,β不同时为0），则 ∫ [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x \int[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm dx ∫[αf(x)+βg(x)]dx(存在) = α ∫ f ( x ) d x + β ∫ g ( x ) d x =\alpha\int f(x)\,\mathrm dx+\beta\int g(x)\,\mathrm dx =α∫f(x)dx+β∫g(x)dx

证： ( α ∫ f ( x ) d x + β ∫ g ( x ) d x ) ′ = 导数的线性运算法则 α ( ∫ f ( x ) d x ) ′ + β ( ∫ g ( x ) d x ) ′ = 不定积分定义 α f ( x ) + β g ( x ) \Big(\alpha\int f(x)\,\mathrm dx+\beta\int g(x)\,\mathrm dx\Big)'\xlongequal{导数的线性运算法则}\alpha\big(\int f(x)\,\mathrm dx\big)'+\beta\big(\int g(x)\,\mathrm dx\big)'\xlongequal{不定积分定义}\alpha f(x)+\beta g(x) (α∫f(x)dx+β∫g(x)dx)′导数的线性运算法则 α(∫f(x)dx)′+β(∫g(x)dx)′不定积分定义 αf(x)+βg(x)，而且对应原式中 ∫ f ( x ) / g ( x ) d x \int f(x)\big/g(x)\,\mathrm dx ∫f(x)/g(x)dx均能表示对应着一族函数，从而这个表示是成立的。

1.2.2. 不定积分与凑微分（第一换元法）

tan ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ? \tan x\,\mathrm dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx=? tanxdx=∫cosxsinxdx=?

若 F ′ ( x ) = f ( u ) F'(x)=f(u) F′(x)=f(u)，则 [ F ( φ ( x ) ) ] ′ = F ′ ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) = f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) [F(\varphi(x))]'=F'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x) [F(φ(x))]′=F′(φ(x))φ′(x)=f(φ(x))φ′(x)（利用微分的一阶形式不变性）

思考： \color{#00FFFF}{思考：} 思考：
求 ∫ g ( x ) d x \int g(x)\,\mathrm dx ∫g(x)dx，如果 g ( x ) d x = d F g(x)\,\mathrm dx=\mathrm dF g(x)dx=dF，则 ∫ g ( x ) d x = F + C \int g(x)\,\mathrm dx=F+C ∫g(x)dx=F+C

那么，利用上述思考，层层向上凑，(先凑出 φ ( x ) \varphi(x) φ(x))如果 g ( x ) d x = f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) d x = F ′ ( u ) = f ( u ) 找到 F ( u ) f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) d x = φ ( x ) = u 消解一层 f ( u ) d u = d F ( u ) g(x)\,\mathrm dx=f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm dx\xlongequal[F'(u)=f(u)]{找到F(u)}f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm dx\xlongequal[\varphi(x)=u]{消解一层}f(u)\,\mathrm du=\mathrm dF(u) g(x)dx=f(φ(x))φ′(x)dx找到F(u) F′(u)=f(u)f(φ(x))φ′(x)dx消解一层 φ(x)=uf(u)du=dF(u)，已经得到了思考中的结构，积分可得 F ( φ ( x ) ) + C F(\varphi(x))+C F(φ(x))+C。可以多层使用直至找到。
其中找到 φ ′ ( x ) \varphi'(x) φ′(x)结构的过程就是凑微分。帮助 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)找到“衣服”然后穿回原来的人模狗样。直到发现穿到某一层可以出去见人（有对应微分的公式）

然后我们很容易得到两个公式：
17. ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C 18. ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C \begin{aligned} &17.\int\tan x\,\mathrm dx=-\ln|\cos x|+C\\ &18.\int\cot x\,\mathrm dx=\ln |\sin x|+C \end{aligned} 17.∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C18.∫cotxdx=ln∣sinx∣+C

补充： \color{#00FFFF}{补充：} 补充：
（一些可用的微分关系式）
1 。 1^。 1。 d x = 1 ⋅ d x = 1 a d ( a x + b ) ( a ≠ 0 ) \mathrm dx=1\cdot \mathrm dx=\frac{1}{a}\mathrm d(ax+b)(a\not=0) dx=1⋅dx=a1d(ax+b)(a=0)
2 。 2^。 2。 x d x = 1 2 d x ( x 2 ± a 2 ) x\mathrm dx=\frac{1}{2}\mathrm dx(x^2\pm a^2) xdx=21dx(x2±a2)
3 。 3^。 3。 x d x = − 1 2 d ( a 2 − x 2 ) x\mathrm dx=-\frac{1}{2}\mathrm d(a^2-x^2) xdx=−21d(a2−x2)
4 。 4^。 4。 cos ⁡ x d x = d sin ⁡ x \cos x\mathrm dx=\mathrm d\sin x cosxdx=dsinx
5 。 5^。 5。 sin ⁡ x = − d cos ⁡ x \sin x=-\mathrm d\cos x sinx=−dcosx
6 。 6^。 6。 1 x d x = d ln ⁡ ∣ x ∣ = i f x > 0 d ln ⁡ x \frac{1}{x}\mathrm dx=\mathrm d\ln|x|\xlongequal{if \,\,x>0}\mathrm d\ln x x1dx=dln∣x∣ifx>0 dlnx
7 。 7^。 7。 e x d x = d e x e^x\mathrm dx=\mathrm de^x exdx=dex

随后我们又可以推出
19. ∫ 1 a 2 + x 2 d x ( a ≠ 0 ) = 1 a arctan ⁡ x a + C 20. ∫ 1 a 2 − x 2 d x ( a > 0 ) = arcsin ⁡ x a + C 21. ∫ 1 a 2 − x 2 = 1 2 a ∫ ( 1 a − x + 1 a + x ) = 1 2 a ln ⁡ ∣ a + x a − x ∣ + C 22. ∫ sec ⁡ x d x = ∫ 1 cos ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x cos ⁡ 2 x d x = ∫ 1 1 − sin ⁡ 2 x d sin ⁡ x = 1 2 ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ x 1 − sin ⁡ x ∣ + C = 1 2 ln ⁡ ∣ ( 1 + sin ⁡ x ) 2 cos ⁡ 2 x ∣ + C = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C ( 正切 + 正割 ) 23. （同 22 ） ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C 24. ∫ e a x d x ( a ≠ 0 ) = 1 a e a x + C 25. ∫ cos ⁡ a x d x = 1 a sin ⁡ a x + C 26. ∫ sin ⁡ a x d x = − 1 a cos ⁡ a x + C \begin{aligned} &19.\int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm dx(a\not=0)=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\\ &20.\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm dx(a>0)=\arcsin\frac{x}{a}+C\\ &21.\int\frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\int\Big(\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x}\Big)=\frac{1}{2a}\ln\Big|\frac{a+x}{a-x}\Big|+C\\ &22.\int\sec x\mathrm dx=\int\frac{1}{\cos x}\mathrm dx=\int\frac{\cos x}{\cos^2x}\mathrm dx=\int\frac{1}{1-\sin^2x}\mathrm d\sin x\\&=\frac{1}{2}\ln\Big|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\Big|+C=\frac{1}{2}\ln\Big|\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}\Big|+C=\ln\Big|\sec x+\tan x\Big|+C(正切+正割)\\ &23.（同22）\int\csc x\mathrm dx=\ln\Big|\csc x-\cot x\Big|+C\\ &24.\int e^{ax}\mathrm dx(a\not=0)=\frac{1}{a}e^{ax}+C\\ &25.\int \cos ax\mathrm dx=\frac{1}{a}\sin ax+C\\ &26.\int\sin ax\mathrm dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C \end{aligned} 19.∫a2+x21dx(a=0)=a1arctanax+C20.∫a2−x2 1dx(a>0)=arcsinax+C21.∫a2−x21=2a1∫(a−x1+a+x1)=2a1ln∣∣∣a−xa+x∣∣∣+C22.∫secxdx=∫cosx1dx=∫cos2xcosxdx=∫1−sin2x1dsinx=21ln∣∣∣1−sinx1+sinx∣∣∣+C=21ln∣∣∣cos2x(1+sinx)2∣∣∣+C=ln∣∣∣secx+tanx∣∣∣+C(正切+正割)23.（同22）∫cscxdx=ln∣∣∣cscx−cotx∣∣∣+C24.∫eaxdx(a=0)=a1eax+C25.∫cosaxdx=a1sinax+C26.∫sinaxdx=−a1cosax+C

但还是有一些问题不能解决，比如接下来这个例题

例 ∫ a 2 − x 2 d x ( a > 0 ) \int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx(a>0) ∫a2−x2 dx(a>0)

1.2.3. 不定积分的变量代换（第二换元法）

f ( x ) d x = f ( φ ( t ) ) d φ ( t ) = x = φ ( t ) 可导 f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t = F ′ ( t ) = f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d F ( t ) = 代回 t = φ − 1 ( x ) x = φ ( t ) 有反函数 d F ( φ − 1 ( x ) ) f(x)\mathrm dx=f(\varphi(t))\mathrm d\varphi(t)\xlongequal{x=\varphi(t)可导}f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt\xlongequal{F'(t)=f(\varphi(t))\varphi'(t)}\mathrm dF(t)\xlongequal[代回t=\varphi^{-1}(x)]{x=\varphi(t)有反函数}\mathrm dF(\varphi^{-1}(x)) f(x)dx=f(φ(t))dφ(t)x=φ(t)可导 f(φ(t))φ′(t)dtF′(t)=f(φ(t))φ′(t) dF(t)x=φ(t)有反函数代回t=φ−1(x)dF(φ−1(x))（思路相当于先脱一件背心，然后再顺利轻松地穿好<即代换后的式子有对应积分公式>）

使用条件

如果被积函数中含有下列根式，不能用前面的方法解决，就用变量代换：

1 。 1^。 1。 a 2 − x 2 \sqrt{a^2-x^2} a2−x2 ，令 x = a sin ⁡ t , t ∈ [ − π 2 , π 2 ] x=a\sin t, t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] x=asint,t∈[−2π,2π]
2 。 2^。 2。 a 2 + x 2 \sqrt{a^2+x^2} a2+x2 ,令 x = a tan ⁡ t , t ∈ ( − π 2 , π 2 ) x=a\tan t, t\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) x=atant,t∈(−2π,2π)
3 。 3^。 3。 x 2 − a 2 \sqrt{x^2-a^2} x2−a2 ，令 x = a sec ⁡ t , t ∈ [ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ] x=a\sec t, t\in[0, \frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2}, \pi] x=asect,t∈[0,2π)∪(2π,π]
4 。 4^。 4。 a x + b c x + d n \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} ncx+dax+b ，令 x = a x + b c x + d n x=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} x=ncx+dax+b ，相当于是直接设出反函数，然后再找怎样把原有结构简化成多项式结构，积分之后用反函数关系代回。类似 a x + b n \sqrt[n]{ax+b} nax+b 的结构是这类的特殊情况

代回的时候，用三角形法则。利用 t t t角对应的两边构造直角三角形。

27. ∫ 1 x 2 + a 2 d x ( a > 0 ) = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C 28. ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \begin{aligned} &27.\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,\mathrm dx(a>0)=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\ &28.\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\,\mathrm dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned} 27.∫x2+a2 1dx(a>0)=ln(x+x2+a2 )+C28.∫x2−a2 1dx=ln∣x+x2−a2 ∣+C
第二个需要绝对值，因为 x x x取负数时，原函数无意义。

几个例题

1 。 1^。 1。 ∫ 1 x + x 3 d x \int\frac{1}{\sqrt x+\sqrt[3]{x}}\,\mathrm dx ∫x +3x 1dx，找根式的最小公倍数

2 。 2^。 2。 x 2 ( 1 − x ) 1000 d x x^2(1-x)^{1000}\mathrm dx x2(1−x)1000dx:把括号换成简单的独元

3 。 3^。 3。 ∫ x 2 ( 2 x + 1 ) 10 d x \int\frac{x^2}{(2x+1)^{10}}\,\mathrm dx ∫(2x+1)10x2dx：把分母换成独元

4 。 4^。 4。 ∫ x 2 + a 2 d x \int\sqrt{x^2+a^2}\,\mathrm dx ∫x2+a2 dx(这个看似和其他长得差不多，但是极其难解，分部+加减项+产生原式的移项法+套27)

2. 定积分

2.1. 意义

定义：设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上有定义，若
lim ⁡ x → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ( 存在且唯一 ) = I = △ ∫ a b f ( x ) d x \lim\limits_{x\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i(存在且唯一)=I\xlongequal{\vartriangle}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx x→0limi=1∑nf(ξi)Δxi(存在且唯一)=I△ ∫abf(x)dx
则 I I I称为 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上的定积分。 [ a , b ] [a,b] [a,b]称为积分区间， b b b称为积分上限， a a a称为积分下限。

2.1.1. 几何意义

若 x ∈ [ a , b ] x\in[a, b] x∈[a,b]时， ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b f(x)\,\mathrm dx ∫abf(x)dx存在，则 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b f(x)\,\mathrm dx ∫abf(x)dx表示曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)与 x = a , x = b ， x x=a, x= b，x x=a,x=b，x轴围成的各曲边梯形带权面积之和，权值与相应区段曲线的符号一致。

2.1.2. 物理意义

变力做功

2.2. 可积性

2.2.1. 可积的必要条件

若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上可积，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上一定有界。反之不成立。

2.2.2. 充分条件

若 f ( x ) ∈ [ a , b ] f(x)\in[a,b] f(x)∈[a,b]，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，反之不成立
若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a, b] [a,b]有界，且 f ( x ) f(x) f(x)只有有限个间断点（只有有限个第一类间断点），则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，反之不成立。
若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上单调，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，反之不成立。（辅助证明有限个第一类间断的条件）
1. （子区间的可积性）若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，且 [ c , d ] ⊂ [ a , b ] [c,d]\subset[a,b] [c,d]⊂[a,b]，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ c , d ] [c,d] [c,d]上可积
2. （可积函数具有绝对值趋同性）若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，则 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，反之不成立。

2.3. 定积分的性质

规定

∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x \int_a^b f(x)\,\mathrm dx=-\int_b^a f(x)\,\mathrm dx ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
∫ a a f ( x ) d x = 0 \int_a^a f(x)\,\mathrm dx=0 ∫aaf(x)dx=0

我们还有一个常用结论： ∫ a b d x = b − a \int_a^b \,\mathrm dx=b-a ∫abdx=b−a

1 。 1^。 1。线性运算法则（不限制上限大于下限）
∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm dx=\alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\beta \int_a^b g(x)\,\mathrm dx ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx
2 。 2^。 2。区间的可加性（不限制上限大于下限）
设 a , b , c a,b, c a,b,c是不相等的三个常数，且 f ( x ) f(x) f(x)在 [ m i n { a , b , c } , m a x { a , b , c } ] [min\{a,b,c\}, max\{a,b,c\}] [min{a,b,c},max{a,b,c}]上可积，则 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \int_a^c f(x)\,\mathrm dx+\int_c^b f(x)\,\mathrm dx ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
3 。 3^。 3。（积分保号性）若 x ∈ [ a , b ] , f ( x ) ≥ 0 x\in[a,b],f(x)\geq 0 x∈[a,b],f(x)≥0且 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b f(x)\,\mathrm dx ∫abf(x)dx存在，则 ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 \int_a^bf(x)\,\mathrm dx\geq0 ∫abf(x)dx≥0
- 推论（积分保序性） x ∈ [ a , b ] , f ( x ) ≥ g ( x ) x\in[a,b],f(x)\geq g(x) x∈[a,b],f(x)≥g(x)且 ∫ a b f ( x ) d x , ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bf(x)\,\mathrm dx, \int_a^bg(x)\,\mathrm dx ∫abf(x)dx,∫abg(x)dx都存在，则 ∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bf(x)\,\mathrm dx \geq \int_a^bg(x)\,\mathrm dx ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx
4 。 4^。 4。（不恒等可以严格保序）若 f ( x ) ∈ C [ a , b ] f(x)\in C[a,b] f(x)∈C[a,b]且 x ∈ [ a , b ] , f ( x ) ≥ 0 , f ( x ) ≢ 0 x\in[a,b],f(x)\geq 0, f(x)\not \equiv0 x∈[a,b],f(x)≥0,f(x)≡0，则 ∫ a b f ( x ) d x > 0 \int_a^bf(x)\,\mathrm dx>0 ∫abf(x)dx>0
- 推论若 f ( x ) , g ( x ) ∈ C [ a , b ] f(x),g(x)\in C[a,b] f(x),g(x)∈C[a,b]且 x ∈ [ a , b ] , f ( x ) ≥ g ( x ) , f ( x ) ≢ g ( x ) x\in[a,b],f(x)\geq g(x),f(x)\not\equiv g(x) x∈[a,b],f(x)≥g(x),f(x)≡g(x)则 ∫ a b f ( x ) d x > ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b f(x)\,\mathrm dx>\int_a^b g(x)\,\mathrm dx ∫abf(x)dx>∫abg(x)dx
5 。 5^。 5。（积分的绝对值不等式）若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上可积，则 ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x |\int_a^b f(x)\,\mathrm dx|\leq\int_a^b|f(x)|\,\mathrm dx ∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx
- 可以利用绝对值不等式来理解。现使用（不等式性质）3证明：当 x ∈ [ a , b ] , − ∣ f ( x ) ∣ ≤ f ( x ) ≤ ∣ f ( x ) ∣ ⇒ − ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x x\in[a,b],-|f(x)|\leq f(x)\leq |f(x)|\Rightarrow-\int_a^b|f(x)|\,\mathrm dx\leq \int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq \int_a^b|f(x)|\,\mathrm dx x∈[a,b],−∣f(x)∣≤f(x)≤∣f(x)∣⇒−∫ab∣f(x)∣dx≤∫abf(x)dx≤∫ab∣f(x)∣dx，即证
6 。 6^。 6。估值定理
若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积， m ≤ f ( x ) ≤ M , x ∈ [ a , b ] ， m\leq f(x)\leq M, x\in[a,b]， m≤f(x)≤M,x∈[a,b]，其中 m , M m,M m,M为常数，则 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b M d x = M ( b − a ) m(b-a)\leq\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq \int_a^b M\,\mathrm dx = M(b-a) m(b−a)≤∫abf(x)dx≤∫abMdx=M(b−a)
7 。 7^。 7。积分中值定理（不要求上限大于下限）
若 f ( x ) ∈ C [ a , b ] f(x)\in C[a,b] f(x)∈C[a,b]，则至少存在一点 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in[a,b] ξ∈[a,b]使得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^bf(x)\,\mathrm dx=f(\xi)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a).
其中 ∫ a b f ( x ) d x b − a = f ( ξ ) \frac{\int_a^bf(x)\,\mathrm dx}{b-a}=f(\xi) b−a∫abf(x)dx=f(ξ)称为 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上函数的平均值，当 f ( x ) ≥ 0 , ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) f(x)\geq0, \int_a^bf(x)\,\mathrm dx=f(\xi)(b-a) f(x)≥0,∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)

2.4. 变上限积分

2.4.1. 变上限函数

若 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续， ∀ x ∈ [ a , b ] , f ( t ) \forall x\in[a,b],f(t) ∀x∈[a,b],f(t)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^xf(t)\,\mathrm dt ∫axf(t)dt存在，对每一个 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]，在定积分 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^xf(t)\,\mathrm dt ∫axf(t)dt对应法则下，对应唯一的一个值 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^xf(t)\,\mathrm dt ∫axf(t)dt，按照函数定义知 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^xf(t)\,\mathrm dt ∫axf(t)dt是区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上 x x x的函数，称为变上限函数，记作 G ( x ) G(x) G(x)即 G ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , x ∈ [ a , b ] G(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt, x\in[a,b] G(x)=∫axf(t)dt,x∈[a,b]

2.4.2. 变上限求导定理

微积分基本定理，若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则 G ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t G(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt G(x)=∫axf(t)dt在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可导，且 G ′ ( x ) = f ( x ) G'(x)=f(x) G′(x)=f(x).

证： ∀ x ∈ [ a , b ] , lim ⁡ Δ x → 0 G ( x + Δ x ) − G ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ a x + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ a x + Δ x f ( t ) d t + ∫ x a f ( t ) d t Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ x x + Δ x f ( t ) d t Δ x = 积分中值定理 lim ⁡ Δ x → 0 f ( ξ ) Δ x Δ x \forall x\in[a,b],\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{G(x+\Delta x)-G(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm dt-\int_a^xf(t)\,\mathrm dt}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm dt+\int_x^af(t)\,\mathrm dt}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm dt}{\Delta x}\xlongequal{积分中值定理}\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x} ∀x∈[a,b],Δx→0limΔxG(x+Δx)−G(x)=Δx→0limΔx∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=Δx→0limΔx∫ax+Δxf(t)dt+∫xaf(t)dt=Δx→0limΔx∫xx+Δxf(t)dt积分中值定理 Δx→0limΔxf(ξ)Δx，其中 ξ \xi ξ介于 x , x + Δ x x,x+\Delta x x,x+Δx之间。故原式 = lim ⁡ ξ → x f ( ξ ) = f ( x ) =\lim\limits_{\xi\to x}f(\xi)=f(x) =ξ→xlimf(ξ)=f(x)
即：
G ′ ( x ) = ( ∫ a x f ( t ) d t ) ′ = d d x ∫ a x f ( t ) d t G'(x)=\Big(\int_a^xf(t)\,\mathrm dt\Big)'=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^xf(t)\,\mathrm dt G′(x)=(∫axf(t)dt)′=dxd∫axf(t)dt
或者直接写作
( ∫ a x f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) \Big(\int_a^xf(x)\,\mathrm dx\Big)'=f(x) (∫axf(x)dx)′=f(x)
推论可积的一个充分条件：
若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上一定由原函数。

证明：令 G ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , x ∈ [ a , b ] , G ′ ( x ) = f ( x ) G(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt, x\in[a,b],G'(x)=f(x) G(x)=∫axf(t)dt,x∈[a,b],G′(x)=f(x)，这个变上限函数就是 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数。所以连续函数如果求不出来原函数是水平问题

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