矩阵快速幂详解--用矩阵幂解决的多种问题

最经典的题目

以及洛谷一大堆相似题斐波那契升级版，广义斐波那契等等，都是相关的题目。一般而言我们求解斐波那契无非是不断地向前迭代，但是这样的效率实在是太低了。对于nnn的规模如此之大的题目应该如何求解呢？可能有人会认为通过递推式求出通项，就可以求解了。可是斐波那契数列的通项公式是

这谁能找出个规律来，由于式中包含无理数，无法简单求得模之后的结果。况且，在其他问题中有一些很难直接求得通项公式。不过这些情况都可以不求出通项，而用矩阵高效地求出第nnn项的值。

首先，我们先介绍一下对于斐波那契数列应该如何求解。把斐波那契数列的递推式表示成矩阵就得到了下面的式子

因此只要能求出AnA^nAn，就可以求出FnF_nFn了。类似的，对于广义斐波那契数列而言，a1,a2a_1,a_2a1,a2以及递推关系式Fn=pFn−1+qFn−2F_n=pF_{n-1}+qF_{n-2}Fn=pFn−1+qFn−2，系数p,qp,qp,q都是题目中给的，此时如何进行计算呢？只需要简单的修改矩阵AAA的样子就好了

就是新的矩阵AAA,原因如下图所示，
这样的话我们进行和正常斐波那契数列一样的递推，就能得出

计B=An−1B=A^{n-1}B=An−1也就是说Fn=B[1][0]∗F2+B[1][1]∗F1F_n=B[1][0]*F_2+B[1][1]*F_1Fn=B[1][0]∗F2+B[1][1]∗F1，然后求个模就好了

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<iomanip>
using namespace std;#define ll long long
#define Max 1000
#define vec vector< ll >
#define arr vector< vec >ll p, q, a1, a2, n, m;arr mut(arr a, arr b) {arr c(2, vec(2));for (ll i = 0; i < 2; i++) {for (ll j = 0; j < 2; j++) {for (ll k = 0; k < 2; k++) c[i][j] = (c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m;}}return c;
}arr quick(arr a, ll n) {arr ans(2, vec(2)); ans[0][0] = 1; ans[1][1] = 1;//主对角线元素全1while (n > 0) {if (n & 1) ans = mut(ans, a);a = mut(a, a);n >>= 1;}return ans;
}int main() {cin >> p >> q >> a1 >> a2 >> n >> m;arr a(2, vec(2));//两行两列a[0][0] = p; a[0][1] = q; a[1][0] = 1; a[1][1] = 0;a = quick(a, n - 1);cout << (a[1][0] * a2%m + a[1][1] * a1%m) % m << endl;
}

更一般的

通过计算这个矩阵的nnn次幂，就可以在〇(m3log⁡n)〇(m^3 \log n)〇(m3logn) 的时间内计算出第nnn项的值。不过，如果递推式里含有常数项则稍微复杂一些，需变成如下形式

需要稍作分析的矩阵快速幂

矩阵幂求和

n∗nn*nn∗n的矩阵的kkk次幂可以通过快速幂在O(n3log⁡k)O(n^3\log k)O(n3logk)时间内求出。但是这又不是快速幂的模板题，怎么可能真的让你快速幂计算完一个一盒加起来，注意kkk的量级，O(n3k)O(n^3k)O(n3k)显然会超时。因此需要在挨个加的基础上进行一些改进，与上述问题不同的是，在这里我们还没有找到一个递推关系式，不妨把目光聚焦到SkS_kSk与Sk−1S_{k-1}Sk−1的关系上来，通过查看题解仔细分析，我们得到了这个重要的关系

然后通过计算该矩阵的快速幂，我们就快速的进行了原式的求和。