UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步3 条件期望的性质

鞅论初步的第一讲给出了条件期望的定义，第二讲推导了二元随机变量根据定义进行计算的公式，这一讲介绍一些条件期望的性质。

假设X,YX,YX,Y是(Ω,B,P)→(R,B(R))(\Omega,\mathcal{B},P) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))(Ω,B,P)→(R,B(R))的随机变量，F\mathcal{F}F是B\mathcal{B}B的一个子σ\sigmaσ-代数。回顾一下条件期望的公理化定义：E[X∣F]E[X|\mathcal{F}]E[X∣F]满足

E[X∣F]E[X|\mathcal{F}]E[X∣F]是F\mathcal{F}F-可测的；
∀A∈F\forall A \in \mathcal{F}∀A∈F, ∫AXdP=∫AE[X∣F]dP\int_A XdP = \int_A E[X|\mathcal{F}] dP∫AXdP=∫AE[X∣F]dP

因此证明某个表达式是另一个表达式的条件期望，只需要验证这个定义即可。下面我们陈述条件期望的性质，没有证明的性质都可以通过直接验证定义得到，读者可以自行尝试。

性质一: Linearity
E[aX+bY∣F]=aE[X∣F]+bE[Y∣F],∀a,b∈RE[aX+bY|\mathcal{F}]=aE[X|\mathcal{F}]+bE[Y|\mathcal{F}],\forall a,b \in \mathbb{R}E[aX+bY∣F]=aE[X∣F]+bE[Y∣F],∀a,b∈R

证明
记W=aE[X∣F]+bE[Y∣F]W=aE[X|\mathcal{F}]+bE[Y|\mathcal{F}]W=aE[X∣F]+bE[Y∣F]，因为E[X∣F],E[Y∣F]E[X|\mathcal{F}],E[Y|\mathcal{F}]E[X∣F],E[Y∣F]都是F\mathcal{F}F-可测的，所以WWW是F\mathcal{F}F-可测的。

计算∀A∈F\forall A \in \mathcal{F}∀A∈F
∫AWdP=∫A(aE[X∣F]+bE[Y∣F])dP=a∫AE[X∣F]dP+b∫AE[Y∣F]dP=a∫XdP+b∫YdP=∫A(aX+bY)dP\int _A W dP = \int _A (aE[X|\mathcal{F}]+bE[Y|\mathcal{F}])dP \\ = a \int _AE[X|\mathcal{F}]dP + b \int_A E[Y|\mathcal{F}]dP \\ = a\int X dP + b \int Y dP=\int_A(aX+bY)dP∫AWdP=∫A(aE[X∣F]+bE[Y∣F])dP=a∫AE[X∣F]dP+b∫AE[Y∣F]dP=a∫XdP+b∫YdP=∫A(aX+bY)dP

因此WWW是aX+bYaX+bYaX+bY关于F\mathcal{F}F的条件期望。

性质二：Monotonicity
X≤Ya.s.⇒E[X∣F]≤E[Y∣F]X \le Y\ a.s. \Rightarrow E[X|\mathcal{F}] \le E[Y|\mathcal{F}]X≤Y a.s.⇒E[X∣F]≤E[Y∣F]

性质三：Monotone Convergence
Xn≥0,a.s.∀n,Xn↑X,a.s.,E∣X∣<∞⇒E[Xn∣F]↑E[X∣F]X_n \ge 0,a.s.\forall n,X_n \uparrow X,a.s.,E|X|<\infty \Rightarrow E[X_n|\mathcal{F}]\uparrow E[X|\mathcal{F}]Xn≥0,a.s.∀n,Xn↑X,a.s.,E∣X∣<∞⇒E[Xn∣F]↑E[X∣F]

这里↑\uparrow↑表示单调递增且收敛于。

证明
记Yn=X−XnY_n=X-X_nYn=X−Xn，则我们需要证明E[Yn∣F]↓0E[Y_n|\mathcal{F}] \downarrow0E[Yn∣F]↓0。记Zn=E[Yn∣F]Z_n=E[Y_n|\mathcal{F}]Zn=E[Yn∣F]，ZnZ_nZn单调递减且收敛于Z∞Z_{\infty}Z∞，则Z∞Z_{\infty}Z∞是F\mathcal{F}F-可测的，以及我们需要证明Z∞=0a.s.Z_{\infty}=0\ a.s.Z∞=0 a.s.

计算∀n,∀A∈F\forall n,\forall A \in \mathcal{F}∀n,∀A∈F
∫AZndP=∫AYndP\int_AZ_ndP=\int_AY_ndP∫AZndP=∫AYndP

注意到0≤Yn≤X,E∣X∣<∞0 \le Y_n \le X,E|X|<\infty0≤Yn≤X,E∣X∣<∞，根据控制收敛定理
lim⁡n→∞∫YndP=∫lim⁡n→∞YndP=0\lim_{n \to \infty} \int Y_ndP = \int \lim_{n \to \infty }Y_n dP = 0n→∞lim∫YndP=∫n→∞limYndP=0

其中Xn↑Xa.s.X_n\uparrow X\ a.s.Xn↑X a.s.说明Yn↓0a.s.Y_n \downarrow 0\ a.s.Yn↓0 a.s.，所以∫AZndP↓0\int_A Z_n dP \downarrow 0∫AZndP↓0。根据单调收敛定理，以及极限的a.s.a.s.a.s.唯一性
∫AZndP→∫AZ∞dP=0\int_A Z_n dP \to \int_A Z_{\infty}dP=0∫AZndP→∫AZ∞dP=0

取A=Z∞−1((ϵ,+∞)),∀ϵ>0A=Z_{\infty}^{-1}((\epsilon,+\infty)),\forall \epsilon>0A=Z∞−1((ϵ,+∞)),∀ϵ>0，
0=∫AZ∞dP≥∫AϵdP=ϵP(A)≥00=\int_A Z_{\infty}dP \ge \int_A \epsilon dP = \epsilon P(A) \ge 00=∫AZ∞dP≥∫AϵdP=ϵP(A)≥0

因此P(A)=0,∀ϵ>0P(A)=0,\forall \epsilon>0P(A)=0,∀ϵ>0，所以Z∞=0a.s.Z_{\infty}=0\ a.s.Z∞=0 a.s.。

注 Monotone convergence成立，说明Fatou引理与控制收敛(DCT)也成立：

Fatou’e Lemma: Xn≥0,a.s.∀nX_n \ge 0,a.s.\forall nXn≥0,a.s.∀n, Xn∈L1X_n \in L^1Xn∈L1, then E[lim inf⁡Xn∣F]≤lim inf⁡E[Xn∣F]E[\liminf X_n|\mathcal{F}]\le \liminf E[X_n|\mathcal{F}]E[liminfXn∣F]≤liminfE[Xn∣F]
DCT:Xn∈L1,∀nX_n \in L^1,\forall nXn∈L1,∀n, ∣Xn∣≤Z∈L1|X_n| \le Z \in L^1∣Xn∣≤Z∈L1, Xn→X∞,a.s.X_n \to X_{\infty},a.s.Xn→X∞,a.s. then lim⁡n→∞E[Xn∣F]=E[X∞∣F]\lim_{n \to \infty} E[X_n|\mathcal{F}]=E[X_{\infty}|\mathcal{F}]n→∞limE[Xn∣F]=E[X∞∣F]

基于单调收敛定理导出这两个结论的路径可以参考Folland的实分析，或者任何一本实分析教材。

性质四：Jensen’s inequality
ψconvex,E∣X∣<∞,E[ψ(X)]<∞⇒ψ(E[X∣F])≤E[ψ(X)∣F]\psi\ convex, E|X|<\infty,E[\psi(X)]<\infty \\ \Rightarrow \psi(E[X|\mathcal{F}]) \le E[\psi(X)|\mathcal{F}]ψ convex,E∣X∣<∞,E[ψ(X)]<∞⇒ψ(E[X∣F])≤E[ψ(X)∣F]

性质五：Contraction
∥E[X∣F]∥p≤∥X∥p,∀p≥1\left\| E[X|\mathcal{F}] \right\|_p \le \left\| X \right\|_p,\forall p \ge 1∥E[X∣F]∥p≤∥X∥p,∀p≥1

证明
根据Jensen不等式，∀w∈Ω\forall w \in \Omega∀w∈Ω
∣E[X∣F]∣p(w)≤E[∣X∣p∣F](w)|E[X|\mathcal{F}] |^p(w) \le E[|X|^p|\mathcal{F}](w)∣E[X∣F]∣p(w)≤E[∣X∣p∣F](w)

所以
E∣E[X∣F]∣p=∫Ω∣E[X∣F]∣pdP≤∫ΩE[∣X∣p∣F]dP=∫Ω∣X∣pdP=E[∣X∣p]E|E[X|\mathcal{F}] |^p = \int_{\Omega} |E[X|\mathcal{F}] |^pdP \le \int_{\Omega}E[|X|^p|\mathcal{F}]dP \\ = \int_{\Omega} |X|^pdP = E[|X|^p]E∣E[X∣F]∣p=∫Ω∣E[X∣F]∣pdP≤∫ΩE[∣X∣p∣F]dP=∫Ω∣X∣pdP=E[∣X∣p]

倒数第二个等号用的是条件期望的定义，因为Ω∈F\Omega \in \mathcal{F}Ω∈F。

性质六：Tower Property
E[E[X∣F1]∣F2]=E[E[X∣F2]∣F1]=E[X∣F1],F1⊂F2E[E[X|\mathcal{F}_1]|\mathcal{F}_2]=E[E[X|\mathcal{F}_2]|\mathcal{F}_1]=E[X|\mathcal{F}_1],\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2E[E[X∣F1]∣F2]=E[E[X∣F2]∣F1]=E[X∣F1],F1⊂F2

证明

i)）说明E[E[X∣F1]∣F2]=E[X∣F1]E[E[X|\mathcal{F}_1]|\mathcal{F}_2]=E[X|\mathcal{F}_1]E[E[X∣F1]∣F2]=E[X∣F1]，因为E[X∣F1]E[X|\mathcal{F}_1]E[X∣F1]是F1\mathcal{F}_1F1-可测的，F1⊂F2\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2F1⊂F2，所以E[X∣F1]E[X|\mathcal{F}_1]E[X∣F1]也是F2\mathcal{F}_2F2-可测的，根据条件概率的简单性质，E[E[X∣F1]∣F2]=E[X∣F1]E[E[X|\mathcal{F}_1]|\mathcal{F}_2]=E[X|\mathcal{F}_1]E[E[X∣F1]∣F2]=E[X∣F1]。

ii）显然E[X∣F1]E[X|\mathcal{F}_1]E[X∣F1]是F1\mathcal{F}_1F1-可测的，∀A∈F1\forall A \in \mathcal{F}_1∀A∈F1，我们计算
∫AE[X∣F1]dP=∫AXdP\int_A E[X|\mathcal{F}_1] dP = \int_A X dP∫AE[X∣F1]dP=∫AXdP

并且A∈F1⊂F2A \in \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2A∈F1⊂F2，
∫AXdP=∫AE[X∣F2]dP\int_A X dP = \int _A E[X|\mathcal{F}_2] dP∫AXdP=∫AE[X∣F2]dP

性质七：Projection

EX2<∞EX^2<\inftyEX2<∞, 则E[X∣F]E[X|\mathcal{F}]E[X∣F]是XXX在L2(Ω,F)L^2(\Omega,\mathcal{F})L2(Ω,F)中的投影，即
E[X∣F]=arg min⁡Y∈L2(Ω,F)E[(X−Y)2]E[X|\mathcal{F}] = \argmin_{Y \in L^2(\Omega,\mathcal{F})} E[(X-Y)^2]E[X∣F]=Y∈L2(Ω,F)argminE[(X−Y)2]

证明
E[(X−Y)2]=E[(X−E[X∣F])+(E[X∣F]−Y)2]=E[(X−E[X∣F])2]+E[(Y−E[X∣F])2]+2E[(X−E[X∣F])(Y−E[X∣F])]E[(X-Y)^2]=E[(X-E[X|\mathcal{F}])+(E[X|\mathcal{F}]-Y)^2] \\ = E[(X-E[X|\mathcal{F}])^2]+E[(Y-E[X|\mathcal{F}])^2] \\+2E[(X-E[X|\mathcal{F}])(Y-E[X|\mathcal{F}])]E[(X−Y)2]=E[(X−E[X∣F])+(E[X∣F]−Y)2]=E[(X−E[X∣F])2]+E[(Y−E[X∣F])2]+2E[(X−E[X∣F])(Y−E[X∣F])]

其中
E[(X−E[X∣F])(Y−E[X∣F])]=E[E[(X−E[X∣F])(Y−E[X∣F])]∣F]=E[(Y−E[X∣F])E[(X−E[X∣F])∣F]]=E[(Y−E[X∣F])(E[X∣F]−E[X∣F])]=0E[(X-E[X|\mathcal{F}])(Y-E[X|\mathcal{F}])] \\ = E[E[(X-E[X|\mathcal{F}])(Y-E[X|\mathcal{F}])]|\mathcal{F}] \\ = E[(Y-E[X|\mathcal{F}])E[(X-E[X|\mathcal{F}])|\mathcal{F}]] \\ = E[(Y-E[X|\mathcal{F}])(E[X|\mathcal{F}]-E[X|\mathcal{F}])]=0E[(X−E[X∣F])(Y−E[X∣F])]=E[E[(X−E[X∣F])(Y−E[X∣F])]∣F]=E[(Y−E[X∣F])E[(X−E[X∣F])∣F]]=E[(Y−E[X∣F])(E[X∣F]−E[X∣F])]=0

因此
E[(X−Y)2]=E[(X−E[X∣F])2]+E[(Y−E[X∣F])2]≥E[(X−E[X∣F])2]E[(X-Y)^2]=E[(X-E[X|\mathcal{F}])^2]+E[(Y-E[X|\mathcal{F}])^2] \\ \ge E[(X-E[X|\mathcal{F}])^2]E[(X−Y)2]=E[(X−E[X∣F])2]+E[(Y−E[X∣F])2]≥E[(X−E[X∣F])2]

当且仅当Y=E[X∣F]Y=E[X|\mathcal{F}]Y=E[X∣F]时取等。

我们还需要验证一下E[X∣F]∈L2(Ω,F)E[X|\mathcal{F}] \in L^2(\Omega,\mathcal{F})E[X∣F]∈L2(Ω,F)，根据Jensen不等式与Tower property
E[E[X∣F]2]≤E[E[X2∣F]]=E[X2]<∞E[E[X|\mathcal{F}]^2] \le E[E[X^2|\mathcal{F}]] =E[X^2]<\inftyE[E[X∣F]2]≤E[E[X2∣F]]=E[X2]<∞

因此E[X∣F]∈L2(Ω,F)E[X|\mathcal{F}] \in L^2(\Omega,\mathcal{F})E[X∣F]∈L2(Ω,F)。