闭区间连续函数的性质

闭区间上的连续函数具有许多特殊的性质，在开区间上不一定具有。

1.有界性定理

命题：若函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，则它在[a,b][a,b][a,b]上有界。

证明：用反证法。

如果f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上无界，则将[a,b][a,b][a,b]等分为两个小区间[a,a+b2],[a+b2,b][a,\dfrac{a+b}2],[\dfrac{a+b}{2},b][a,2a+b],[2a+b,b]，函数f(x)f(x)f(x)至少在其中一个小区间上无界，记作[a1,b1][a_1,b_1][a1,b1]；继续等分，函数依然至少在一个半区间上无界，记作[a2,b2][a_2,b_2][a2,b2]；依此进行，得到一个闭区间套{[an,bn]}\{[a_n,b_n]\}{[an,bn]}，这样就存在一个唯一的实数ξ\xiξ属于所有区间[an,bn][a_n,b_n][an,bn]，且
ξ=lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn.\xi=\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n. ξ=n→∞liman=n→∞limbn.
由于f(ξ)f(\xi)f(ξ)在[a,b][a,b][a,b]上连续，f(x)f(x)f(x)在ξ\xiξ处连续，即f(ξ)=lim⁡x→ξf(x)f(\xi)=\lim\limits_{x\to \xi}f(x)f(ξ)=x→ξlimf(x)存在，所以存在一个δ\deltaδ，使得f(x)f(x)f(x)在U∘(ξ,δ)U^\circ(\xi,\delta)U∘(ξ,δ)有界（这是函数极限的有界性），结合函数的连续性，对于一切x∈U(ξ,δ)∩[a,b]x\in U(\xi,\delta)\cap [a,b]x∈U(ξ,δ)∩[a,b]存在
∣f(x)∣≤M.|f(x)|\le M. ∣f(x)∣≤M.
由于闭区间套的长度趋近于0，所以一定存在一个NNN，使得n>Nn>Nn>N时，bn−an<δ/2b_n-a_n<\delta/2bn−an<δ/2，这就意味着
[an,bn]⊂U(ξ,δ),[a_n,b_n]\sub U(\xi ,\delta), [an,bn]⊂U(ξ,δ),
然而f(x)f(x)f(x)在[an,bn][a_n,b_n][an,bn]上无界，在U(ξ,δ)U(\xi,\delta)U(ξ,δ)上有界，这显然是矛盾的。

综上所述，闭区间上的连续函数有界。

开区间上连续函数无界的例子：f(x)=1xf(x)=\dfrac 1xf(x)=x1在(0,1)(0,1)(0,1)上无界。

2.最值定理

命题：若f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，则它在[a,b][a,b][a,b]上必能取到最大值和最小值，即存在ξ,η∈[a,b]\xi,\eta\in [a,b]ξ,η∈[a,b]，对于一切x∈[a,b]x\in [a,b]x∈[a,b]，有f(ξ)≤f(x)≤f(η)f(\xi)\le f(x)\le f(\eta)f(ξ)≤f(x)≤f(η)。

证明：可以先找比最值稍弱的值——确界，再通过确界向最值逼近。

由有界性定理得f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上有界，所以f(x)f(x)f(x)的值域RfR_fRf存在下确界α=inf⁡Rf\alpha=\inf R_fα=infRf和上确界β=sup⁡Rf\beta =\sup R_fβ=supRf。要证明存在ξ∈[a,b]\xi\in [a,b]ξ∈[a,b]使得f(ξ)=αf(\xi)=\alphaf(ξ)=α。

根据下确界的定义，一方面f(x)≥αf(x)\ge \alphaf(x)≥α，另一方面∀ϵ>0,∃x,f(x)<α+ϵ\forall \epsilon>0,\exist x,f(x)<\alpha+\epsilon∀ϵ>0,∃x,f(x)<α+ϵ，于是取{ϵn}\{\epsilon_n\}{ϵn}趋近于000，不妨设ϵn=1n\epsilon_n=\dfrac 1nϵn=n1，由此得到数列{xn}\{x_n\}{xn}，其中α≤f(xn)<α+1n\alpha\le f(x_n)<\alpha+\frac 1nα≤f(xn)<α+n1。

由于{xn}\{x_n\}{xn}是一个有界数列，所以存在收敛子列{xnk}\{x_{n_k}\}{xnk}，由于{xn}\{x_n\}{xn}的构造方式，有
α≤f(xnk)<α+1nk<α+1k.\alpha\le f(x_{n_k})<\alpha+\frac 1{n_k}<\alpha+\frac 1k. α≤f(xnk)<α+nk1<α+k1.
两边同时关于kkk取极限，有f(xnk)→αf(x_{n_{k}})\to \alphaf(xnk)→α。不妨设xnk→x′x_{n_{k}}\to x'xnk→x′，那么由函数的连续性，有
f(x′)=f(lim⁡k→∞xnk)=lim⁡k→∞f(xnk)=α,f(x')=f(\lim_{k\to \infty}x_{n_k})=\lim_{k\to \infty}f(x_{n_k})=\alpha, f(x′)=f(k→∞limxnk)=k→∞limf(xnk)=α,
这就证明了∃x′,f(x′)=α=inf⁡Rf\exist x',f(x')=\alpha=\inf R_f∃x′,f(x′)=α=infRf，证明了f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上取得到最小值。

同理构造收敛子列，可以证明f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上取得到最大值。

3.零点存在定理

命题：若函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，且f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0，则一定存在ξ∈(a,b)\xi\in (a,b)ξ∈(a,b)使得f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0。

证明：要证明存在这样的ξ\xiξ，关键是将其构造出来。

不失一般性，设f(a)<0,f(b)>0f(a)<0,f(b)>0f(a)<0,f(b)>0，可以定义集合V={x∣f(x)<0,x∈[a,b]}V=\{x|f(x)<0,x\in [a,b]\}V={x∣f(x)<0,x∈[a,b]}，显然集合VVV有界非空（至少含有点aaa），所以必有上确界，设为ξ=sup⁡V\xi=\sup Vξ=supV，现在想要证明ξ∈(a,b),f(ξ)=0\xi\in (a,b),f(\xi)=0ξ∈(a,b),f(ξ)=0。

先证明ξ∈(a,b)\xi\in (a,b)ξ∈(a,b)，由于f(a)<0f(a)<0f(a)<0，所以存在一个δ1\delta_1δ1使得∀x∈[a,a+δ1]\forall x\in [a,a+\delta_1]∀x∈[a,a+δ1]，f(x)<0f(x)<0f(x)<0；由于f(b)>0f(b)>0f(b)>0，所以存在一个δ2\delta_2δ2使得∀x∈[b−δ2,b]\forall x\in [b-\delta_2,b]∀x∈[b−δ2,b]，f(x)>0f(x)>0f(x)>0，这样就有a+δ1≤ξ≤b−δ1a+\delta_1\le \xi\le b-\delta_1a+δ1≤ξ≤b−δ1，所以ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)。

取xn∈V,xn→ξx_n\in V,x_n\to \xixn∈V,xn→ξ，因为f(xn)<0f(x_n)<0f(xn)<0，所以f(ξ)=f(lim⁡n→∞xn)=lim⁡n→∞f(xn)≤0f(\xi)=f(\lim\limits_{n\to \infty}x_n)=\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)\le 0f(ξ)=f(n→∞limxn)=n→∞limf(xn)≤0，下证明f(ξ)<0f(\xi)<0f(ξ)<0是不可能存在的。

若f(ξ)<0f(\xi)<0f(ξ)<0，则根据f(x)f(x)f(x)在ξ\xiξ的连续性，存在一个δ\deltaδ，使得[ξ−δ,ξ+δ][\xi-\delta,\xi+\delta][ξ−δ,ξ+δ]内的xxx满足f(x)<0f(x)<0f(x)<0，这就与ξ\xiξ是VVV的上确界矛盾（因为ξ+δ>ξ\xi+\delta>\xiξ+δ>ξ且f(ξ+δ)<0f(\xi+\delta)<0f(ξ+δ)<0），所以必定有f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0。

4.介值定理

命题：如果函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，则它一定能取到最大值M=max⁡{f(x)∣x∈[a,b]}M=\max\{f(x)|x\in [a,b]\}M=max{f(x)∣x∈[a,b]}和最小值m=min⁡{f(x)∣x∈[a,b]}m=\min\{f(x)|x\in [a,b]\}m=min{f(x)∣x∈[a,b]}之间的任何一个值。

证明：建立介值定理与零点存在定理的联系。

由最值定理，存在ξ,η∈[a,b]\xi,\eta\in [a,b]ξ,η∈[a,b]使得f(ξ)=m,f(η)=Mf(\xi)=m,f(\eta)=Mf(ξ)=m,f(η)=M，不妨假设ξ<η\xi<\etaξ<η。

对于任意中间值CCC即m<C<Mm<C<Mm<C<M，考察辅助函数
g(x)=f(x)−C,g(x)=f(x)-C, g(x)=f(x)−C,
显然g(x)g(x)g(x)在[a,b][a,b][a,b]上也是连续函数，且g(ξ)=m−C<0,g(η)=M−C>0g(\xi)=m-C<0,g(\eta)=M-C>0g(ξ)=m−C<0,g(η)=M−C>0，由零点存在定理，必定有ζ∈(ξ,η)\zeta\in (\xi,\eta)ζ∈(ξ,η)，使得
g(ζ)=0=f(ζ)−C,f(ζ)=C.g(\zeta)=0=f(\zeta)-C,\quad f(\zeta)=C. g(ζ)=0=f(ζ)−C,f(ζ)=C.
这就证明了介值定理。同时，介值定理表明了f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的值域为Rf=[m,M]R_f=[m,M]Rf=[m,M]。

5.一致连续定理(Cantor定理)

一致连续性：设f(x)f(x)f(x)定义在区间XXX上，∀ε>0,∃δ(ε)>0\forall \varepsilon>0,\exist \delta(\varepsilon)>0∀ε>0,∃δ(ε)>0，只要∣x1−x2∣<δ(x1,x2∈X)|x_1-x_2|<\delta(x_1,x_2\in X)∣x1−x2∣<δ(x1,x2∈X)，就有∣f(x1)−f(x2)∣<ε|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon∣f(x1)−f(x2)∣<ε，就称f(x)f(x)f(x)在区间XXX上一致连续。

一致连续的充要条件：f(x)f(x)f(x)在XXX上一致连续，等价于对任何点列{xn′},{xn′′}(xn′,xn′′∈X)\{x_n'\},\{x_n''\}(x_n',x_n''\in X){xn′},{xn′′}(xn′,xn′′∈X)，有
lim⁡n→∞(xn′−xn′′)=0⇒lim⁡n→∞(f(xn′)−f(xn′′))=0.\lim_{n\to \infty}(x_n'-x_n'')=0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}(f(x_n')-f(x_n''))=0. n→∞lim(xn′−xn′′)=0⇒n→∞lim(f(xn′)−f(xn′′))=0.
命题(Cantor)：若函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，则它在[a,b][a,b][a,b]上一致连续。

证明：采用反证法。

如果f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上不是一致连续的，则存在ε0>0\varepsilon_0>0ε0>0与点列{xn′},{xn′′}\{x_n'\},\{x_n''\}{xn′},{xn′′}满足
∣xn′−xn′′∣<1n,∣f(xn′)−f(xn′′)∣≥ε0.|x_n'-x_n''|<\frac 1n,\quad |f(x_n')-f(x_n'')|\ge\varepsilon_0. ∣xn′−xn′′∣<n1,∣f(xn′)−f(xn′′)∣≥ε0.
由致密性定理，存在收敛的子列{xnk′}\{x_{n_k}'\}{xnk′}使得lim⁡k→∞xnk′=ξ,ξ∈[a,b]\lim\limits_{k\to \infty}x_{n_k}'=\xi,\xi\in[a,b]k→∞limxnk′=ξ,ξ∈[a,b]，在点列{xn′′}\{x_n''\}{xn′′}中选取同样下标的点列{xnk′′}\{x_{n_k}''\}{xnk′′}，则∣xn′−xnk′′∣<1nk|x_{n}'-x_{n_k}''|<\frac 1{n_k}∣xn′−xnk′′∣<nk1，且∣f(xnk′)−f(xnk′′)∣≥ε0|f(x_{n_k}')-f(x_{n_k}'')|\ge \varepsilon_0∣f(xnk′)−f(xnk′′)∣≥ε0，且
lim⁡k→∞xnk′′=lim⁡k→∞(xnk′′−xnk′)+lim⁡k→∞xnk′=ξ.\lim_{k\to \infty}x_{n_k}''=\lim_{k\to \infty}(x_{n_k}''-x_{n_k}')+\lim_{k\to \infty}x_{n_k}'=\xi. k→∞limxnk′′=k→∞lim(xnk′′−xnk′)+k→∞limxnk′=ξ.
由于函数f(x)f(x)f(x)在ξ\xiξ连续，所以
lim⁡k→∞f(xnk′)=lim⁡k→∞f(xnk′′)=f(ξ).\lim_{k\to \infty}f(x_{n_k}')=\lim_{k\to \infty}f(x_{n_k}'')=f(\xi). k→∞limf(xnk′)=k→∞limf(xnk′′)=f(ξ).
于是
lim⁡k→∞[f(xnk′)−f(xnk′′)]=0,\lim_{k\to \infty}[f(x_{n_k}')-f(x_{n_k}'')]=0, k→∞lim[f(xnk′)−f(xnk′′)]=0,
这与f(xnk′)−f(xnk′′)≥ε0f(x_{n_k}')-f(x_{n_k}'')\ge \varepsilon_0f(xnk′)−f(xnk′′)≥ε0矛盾，因此一定是一致连续的。

该定理在开区间上不成立，是因为ξ\xiξ可能取到区间的边界。