读书笔记：复合 Poisson 过程

【定义】
称随机过程 {X(t),t≥0}\{X(t),t\geq 0\}{X(t),t≥0} 为复合 Poisson 过程，如果对于 t≥0t\geq 0t≥0，它可以表示为：X(t)=∑i=1N(t)YiX(t)=\sum \limits_{i=1}^{N(t)} Y_iX(t)=i=1∑N(t)Yi
式中，{N(t),t≥0}\{N(t),t\geq 0\}{N(t),t≥0} 是一个 Poisson 过程；{Yi,i=1,2,⋯}\{Y_i,i=1,2,\cdots\}{Yi,i=1,2,⋯} 是一族独立同分布的随机变量，并且与 {N(t),t≥0}\{N(t),t\geq 0\}{N(t),t≥0} 独立。

=======================================

【定理】
设 {X(t)=∑i=1N(t)Yi,t≥0}\{X(t)=\sum \limits_{i=1}^{N(t)} Y_i,t\geq 0\}{X(t)=i=1∑N(t)Yi,t≥0} 是一个复合 Poisson 过程，Poisson 过程 {N(t),t≥0}\{N(t),t\geq 0\}{N(t),t≥0} 的强度为 λ\lambdaλ，则
（1） X(t)X(t)X(t) 有独立增量；
（2）若E(Yi2)<+∞E(Y_i^2)<+\inftyE(Yi2)<+∞，则 E[X(t)]=λtE(Y1),Var[X(t)]=λtE(Y12)E[X(t)]=\lambda tE(Y_1),Var[X(t)]=\lambda tE(Y_1^2)E[X(t)]=λtE(Y1),Var[X(t)]=λtE(Y12)

【证明】
（1）令0≤t0<t1<⋯<tn0\leq t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_n0≤t0<t1<⋯<tn，则
X(tk)−X(tk−1)=∑i=N(tk−1)+1N(tk)Yi,k=1,2,⋯,nX(t_k)-X(t_{k-1})=\sum \limits_{i=N(t_{k-1})+1}^{N(t_k)}Y_i,k=1,2,\cdots,nX(tk)−X(tk−1)=i=N(tk−1)+1∑N(tk)Yi,k=1,2,⋯,n
由 Poisson 过程的独立增量性及各 Yi,(i=1,2,⋯,n)Y_i,(i=1,2,\cdots,n)Yi,(i=1,2,⋯,n) 之间的独立性，可以得出 X(t)X(t)X(t) 的独立增量性。
（2）求 X(t)X(t)X(t) 的矩母函数
ϕX(t)(μ)=E[eμX(t)]\phi_{X(t)}(\mu)=E[e^{\mu X(t)}]ϕX(t)(μ)=E[eμX(t)]
=∑n=0∞E[eμX(t)∣N(t)=n]⋅P[N(t)=n]=\sum \limits_{n=0}^{\infty}E[e^{\mu X(t)}|N(t)=n] \cdot P[N(t)=n]=n=0∑∞E[eμX(t)∣N(t)=n]⋅P[N(t)=n]
=∑n=0∞E[eμ(Y1+Y2+⋯+Yn)∣N(t)=n]⋅e−λt(λt)nn!\displaystyle =\sum \limits_{n=0}^{\infty}E[e^{\mu (Y_1+Y_2+\cdots+Y_n)}|N(t)=n] \cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}=n=0∑∞E[eμ(Y1+Y2+⋯+Yn)∣N(t)=n]⋅e−λtn!(λt)n
=∑n=0∞E[eμ(Y1+Y2+⋯+Yn)]⋅e−λt(λt)nn!\displaystyle =\sum \limits_{n=0}^{\infty}E[e^{\mu (Y_1+Y_2+\cdots+Y_n)}] \cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}=n=0∑∞E[eμ(Y1+Y2+⋯+Yn)]⋅e−λtn!(λt)n
=∑n=0∞E(eμY1)E(eμY2)⋯E(eμYn)⋅e−λt(λt)nn!\displaystyle =\sum \limits_{n=0}^{\infty}E(e^{\mu Y_1}) E(e^{\mu Y_2}) \cdots E(e^{\mu Y_n})\cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}=n=0∑∞E(eμY1)E(eμY2)⋯E(eμYn)⋅e−λtn!(λt)n
=∑n=0∞[E(eμY1)]n⋅e−λt(λt)nn!\displaystyle =\sum \limits_{n=0}^{\infty}[E(e^{\mu Y_1})]^n \cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}=n=0∑∞[E(eμY1)]n⋅e−λtn!(λt)n
=e−λt∑n=0∞[λtE(eμY1)]nn!=e−λt⋅eλtE(eμY1)=eλtE(eμY1)−λt\displaystyle =e^{-\lambda t}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac {[\lambda tE(e^{\mu Y_1})]^n}{n!}=e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})}=e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})-\lambda t}=e−λtn=0∑∞n![λtE(eμY1)]n=e−λt⋅eλtE(eμY1)=eλtE(eμY1)−λt
对上面所得的矩母函数求导，得：
ϕX(t)′(μ)=e−λt⋅eλtE(eμY1)⋅λtE(eμY1⋅Y1)=λte−λt⋅eλtE(eμY1)⋅E(Y1eμY1)\phi_{X(t)}^{'}(\mu)=e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})} \cdot \lambda t E(e^{\mu Y_1} \cdot Y_1)=\lambda t e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})} \cdot E(Y_1 e^{\mu Y_1})ϕX(t)′(μ)=e−λt⋅eλtE(eμY1)⋅λtE(eμY1⋅Y1)=λte−λt⋅eλtE(eμY1)⋅E(Y1eμY1)
ϕX(t)′′(μ)=λte−λt⋅[eλtE(eμY1)⋅λtE(Y1eμY1)]⋅E(Y1eμY1)+λte−λt⋅eλtE(eμY1)⋅E(Y1eμY1⋅Y1)\phi_{X(t)}^{''}(\mu)=\lambda t e^{-\lambda t} \cdot [e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})} \cdot \lambda tE(Y_1 e^{\mu Y_1})] \cdot E(Y_1 e^{\mu Y_1})+\lambda t e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^\mu Y_1)} \cdot E(Y_1 e^{\mu Y_1} \cdot Y_1)ϕX(t)′′(μ)=λte−λt⋅[eλtE(eμY1)⋅λtE(Y1eμY1)]⋅E(Y1eμY1)+λte−λt⋅eλtE(eμY1)⋅E(Y1eμY1⋅Y1)
=λte−λt⋅eλtE(eμY1)⋅[λtE(Y1eμY1)⋅E(Y1eμY1)+E(Y12eμY1)]=\lambda t e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})} \cdot [\lambda tE(Y_1e^{\mu Y_1}) \cdot E(Y_1e^{\mu Y_1})+E(Y_1^2 e^{\mu Y_1})]=λte−λt⋅eλtE(eμY1)⋅[λtE(Y1eμY1)⋅E(Y1eμY1)+E(Y12eμY1)]
由矩母函数的性质 ϕX(t)′(0)=E(X(t)),ϕX(t)′′(0)=E(X2(t))\phi_{X(t)}^{'}(0)=E(X(t)),\ \phi_{X(t)}^{''}(0)=E(X^2(t))ϕX(t)′(0)=E(X(t)), ϕX(t)′′(0)=E(X2(t)) 知，将μ=0\mu =0μ=0 代入上面的 ϕX(t)′(μ)\phi_{X(t)}^{'}(\mu)ϕX(t)′(μ) 及 ϕX(t)′′(μ)\phi_{X(t)}^{''}(\mu)ϕX(t)′′(μ) 中，可得：
ϕX(t)′(0)=E(X(t))=λtE(Y1)\phi_{X(t)}^{'}(0)=E(X(t))=\lambda tE(Y_1)ϕX(t)′(0)=E(X(t))=λtE(Y1)，
ϕX(t)′′(0)=E(X2(t))=[λtE(Y1)]2+λtE(Y12)\phi_{X(t)}^{''}(0)=E(X^2(t))=[\lambda t E(Y_1)]^2+\lambda t E(Y_1^2)ϕX(t)′′(0)=E(X2(t))=[λtE(Y1)]2+λtE(Y12)，
进而推出，Var[X(t)]=E(X2(t))−[E(X(t))]2=λtE(Y12)Var[X(t)]=E(X^2(t))-[E(X(t))]^2=\lambda t E(Y_1^2)Var[X(t)]=E(X2(t))−[E(X(t))]2=λtE(Y12)，得证。

【本文的LaTeX代码】

【定义】
称随机过程 $\{X(t),t\geq 0\}$ 为复合 Poisson 过程，如果对于 $t\geq 0$，它可以表示为：$X(t)=\sum \limits_{i=1}^{N(t)} Y_i$
式中，$\{N(t),t\geq 0\}$ 是一个 Poisson 过程；$\{Y_i,i=1,2,\cdots\}$ 是一族独立同分布的随机变量，并且与 $\{N(t),t\geq 0\}$ 独立。=======================================【定理】
设 $\{X(t)=\sum \limits_{i=1}^{N(t)} Y_i,t\geq 0\}$ 是一个复合 Poisson 过程，Poisson 过程 $\{N(t),t\geq 0\}$ 的强度为 $\lambda$，则
（1） $X(t)$ 有独立增量；
（2）若$E(Y_i^2)<+\infty$，则 <font color=red>$E[X(t)]=\lambda tE(Y_1),Var[X(t)]=\lambda tE(Y_1^2)$</font>
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【证明】
（1）令$0\leq t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_n$，则
$X(t_k)-X(t_{k-1})=\sum \limits_{i=N(t_{k-1})+1}^{N(t_k)}Y_i,k=1,2,\cdots,n$
由 Poisson 过程的独立增量性及各 $Y_i,(i=1,2,\cdots,n)$ 之间的独立性，可以得出 $X(t)$ 的独立增量性。
（2）求 $X(t)$ 的矩母函数
$\phi_{X(t)}(\mu)=E[e^{\mu X(t)}]$
$=\sum \limits_{n=0}^{\infty}E[e^{\mu X(t)}|N(t)=n] \cdot P[N(t)=n]$
$\displaystyle =\sum \limits_{n=0}^{\infty}E[e^{\mu (Y_1+Y_2+\cdots+Y_n)}|N(t)=n] \cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}$
$\displaystyle =\sum \limits_{n=0}^{\infty}E[e^{\mu (Y_1+Y_2+\cdots+Y_n)}] \cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}$
$\displaystyle =\sum \limits_{n=0}^{\infty}E(e^{\mu Y_1}) E(e^{\mu Y_2}) \cdots E(e^{\mu Y_n})\cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}$
$\displaystyle =\sum \limits_{n=0}^{\infty}[E(e^{\mu Y_1})]^n \cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}$
$\displaystyle =e^{-\lambda t}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac {[\lambda tE(e^{\mu Y_1})]^n}{n!}=e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})}=e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})-\lambda t}$
对上面所得的矩母函数求导，得：
$\phi_{X(t)}^{'}(\mu)=e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})} \cdot \lambda t E(e^{\mu Y_1} \cdot Y_1)=\lambda t e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})} \cdot E(Y_1 e^{\mu Y_1})$
$\phi_{X(t)}^{''}(\mu)=\lambda t e^{-\lambda t} \cdot [e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})} \cdot \lambda tE(Y_1 e^{\mu Y_1})] \cdot E(Y_1 e^{\mu Y_1})+\lambda t e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^\mu Y_1)} \cdot E(Y_1 e^{\mu Y_1} \cdot Y_1)$
$=\lambda t e^{-\lambda t} \cdot e^{\lambda t E(e^{\mu Y_1})} \cdot [\lambda tE(Y_1e^{\mu Y_1}) \cdot E(Y_1e^{\mu Y_1})+E(Y_1^2 e^{\mu Y_1})]$
由矩母函数的性质 <font color=red>$\phi_{X(t)}^{'}(0)=E(X(t)),\ \phi_{X(t)}^{''}(0)=E(X^2(t))$</font> 知，将$\mu =0$ 代入上面的 $\phi_{X(t)}^{'}(\mu)$ 及 $\phi_{X(t)}^{''}(\mu)$ 中，可得：
$\phi_{X(t)}^{'}(0)=E(X(t))=\lambda tE(Y_1)$，
$\phi_{X(t)}^{''}(0)=E(X^2(t))=[\lambda t E(Y_1)]^2+\lambda t E(Y_1^2)$，
进而推出，$Var[X(t)]=E(X^2(t))-[E(X(t))]^2=\lambda t E(Y_1^2)$，得证。\
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