描述

小Hi：今天我们来学习一个强大的字符串处理工具：后缀自动机（Suffix Automaton，简称SAM）。对于一个字符串S，它对应的后缀自动机是一个最小的确定有限状态自动机（DFA），接受且只接受S的后缀。

小Hi：比如对于字符串S=“aabbabd”，它的后缀自动机是：

其中红色状态是终结状态。你可以发现对于S的后缀，我们都可以从S出发沿着字符标示的路径（蓝色实线）转移，最终到达终结状态。例如"bd"对应的路径是S59，"abd"对应的路径是S189，"abbabd"对应的路径是S184679。而对于不是S后缀的字符串，你会发现从S出发，最后会到达非终结状态或者“无路可走”。特别的，对于S的子串，最终会到达一个合法状态。例如"abba"路径是S1846，"bbab"路径是S5467。而对于其他不是S子串的字符串，最终会“无路可走”。例如"aba"对应S18X，"aaba"对应S123X。（X表示没有转移匹配该字符）

小Ho：好像很厉害的样子！对于任意字符串都能构造出一个SAM吗？另外图中那些绿色虚线是什么？

小Hi：是的，任意字符串都能构造出一个SAM。我们知道SAM本质上是一个DFA，DFA可以用一个五元组 <字符集，状态集，转移函数、起始状态、终结状态集>来表示。下面我们将依次介绍对于一个给定的字符串S如何确定它对应的状态集和转移函数。至于那些绿色虚线虽然不是DFA的一部分，却是SAM的重要部分，有了这些链接SAM是如虎添翼，我们后面再细讲。

SAM的States

小Hi：这一节我们将介绍给定一个字符串S，如何确定S对应的SAM有哪些状态。首先我们先介绍一个概念子串的结束位置集合 endpos。对于S的一个子串s，endpos(s) = s在S中所有出现的结束位置集合。还是以S="aabbabd"为例，endpos(“ab”) = {3, 6}，因为"ab"一共出现了2次，结束位置分别是3和6。同理endpos(“a”) = {1, 2, 5}, endpos(“abba”) = {5}。

小Hi：我们把S的所有子串的endpos都求出来。如果两个子串的endpos相等，就把这两个子串归为一类。最终这些endpos的等价类就构成的SAM的状态集合。例如对于S=“aabbabd”：

状态	子串	endpos
S	空串	{0,1,2,3,4,5,6}
1	a	{1,2,5}
2	aa	{2}
3	aab	{3}
4	aabb,abb,bb	{4}
5	b	{3,4,6}
6	aabba,abba,bba,ba	{5}
7	aabbab,abbab,bbab,bab	{6}
8	ab	{3,6}
9	aabbabd,abbabd,bbabd,babd,abd,bd,d	{7}

小Ho：这些状态恰好就是上面SAM图中的状态。

小Hi：没错。此外，这些状态还有一些美妙的性质，且等我一一道来。首先对于S的两个子串s1和s2，不妨设length(s1) <= length(s2)，那么 s1是s2的后缀当且仅当endpos(s1) ⊇ endpos(s2)，s1不是s2的后缀当且仅当endpos(s1) ∩ endpos(s2) = ∅。

小Ho：我验证一下啊… 比如"ab"是"aabbab"的后缀，而endpos(“ab”)={3,6}，endpos(“aabbab”)={6}，是成立的。"b"是"ab"的后缀，endpos(“b”)={3,4,6}, endpos(“ab”)={3,6}也是成立的。"ab"不是"abb"的后缀，endpos(“ab”)={3,6}，endpos(“abb”)={4}，两者没有交集也是成立的。怎么证明呢？

小Hi：证明还是比较直观的。首先证明s1是s2的后缀=>endpos(s1) ⊇ endpos(s2)：既然s1是s2后缀，所以每次s2出现时s1以必然伴随出现，所以有endpos(s1) ⊇ endpos(s2)。再证明endpos(s1) ⊇ endpos(s2)=>s1是s2的后缀：我们知道对于S的子串s2，endpos(s2)不会是空集，所以endpos(s1) ⊇ endpos(s2)=>存在结束位置x使得s1结束于x，并且s2也结束于x，又length(s1) <= length(s2)，所以s1是s2的后缀。综上我们可知s1是s2的后缀当且仅当endpos(s1) ⊇ endpos(s2)。s1不是s2的后缀当且仅当endpos(s1) ∩ endpos(s2) = ∅是一个简单的推论，不再赘述。

小Ho：我好像对SAM的状态有一些认识了！我刚才看上面的表格就觉得SAM的一个状态里包含的子串好像有规律。考虑到SAM中的一个状态包含的子串都具有相同的endpos，那它们应该都互为后缀？

小Hi：你观察力还挺敏锐的。下面我们就来讲讲一个状态包含的子串究竟有什么关系。上文提到我们把S的所有子串按endpos分类，每一类就代表一个状态，所以我们可以认为一个状态包含了若干个子串。我们用substrings(st)表示状态st中包含的所有子串的集合，longest(st)表示st包含的最长的子串，shortest(st)表示st包含的最短的子串。例如对于状态7，substring(7)={aabbab,abbab,bbab,bab}，longest(7)=aabbab，shortest(7)=bab。

小Hi：对于一个状态st，以及任意s∈substrings(st)，都有s是longest(st)的后缀。证明比较容易，因为endpos(s)=endpos(longest(st))，所以endpos(s) ⊇ endpos(longest(st))，根据我们刚才证明的结论有s是longest(st)的后缀。

小Hi：此外，对于一个状态st，以及任意的longest(st)的后缀s，如果s的长度满足：length(shortest(st)) <= length(s) <= length(longsest(st))，那么s∈substrings(st)。证明也是比较容易，因为：length(shortest(st)) <= length(s) <= length(longsest(st))，所以endpos(shortest(st)) ⊇ endpos(s) ⊇ endpos(longest(st))，又endpos(shortest(st)) = endpos(longest(st))，所以endpos(shortest(st)) = endpos(s) = endpos(longest(st))，所以s∈substrings(st)。

小Ho：这么说来，substrings(st)包含的是longest(st)的一系列连续后缀？

小Hi：没错。比如你看状态7中包含的就是aabbab的长度分别是6，5，4，3的后缀；状态6包含的是aabba的长度分别是5，4，3，2的后缀。

SAM的Suffix Links

小Hi：前面我们讲到substrings(st)包含的是longest(st)的一系列连续后缀。这连续的后缀在某个地方会“断掉”。比如状态7，包含的子串依次是aabbab,abbab,bbab,bab。按照连续的规律下一个子串应该是"ab"，但是"ab"没在状态7里，你能想到这是为什么么？

小Ho：aabbab,abbab,bbab,bab的endpos都是{6}，下一个"ab"当然也在结束位置6出现过，但是"ab"还在结束位置3出现过，所以"ab"比aabbab,abbab,bbab,bab出现次数更多，于是就被分配到一个新的状态中了。

小Hi：没错，当longest(st)的某个后缀s在新的位置出现时，就会“断掉”，s会属于新的状态。比如上例中"ab"就属于状态8，endpos(“ab”}={3,6}。当我们进一步考虑"ab"的下一个后缀"b"时，也会遇到相同的情况：“b"还在新的位置4出现过，所以endpos(“b”)={3,4,6}，b属于状态5。在接下去处理"b"的后缀我们会遇到空串，endpos(”")={0,1,2,3,4,5,6}，状态是起始状态S。

小Hi：于是我们可以发现一条状态序列：7->8->5->S。这个序列的意义是longest(7)即aabbab的后缀依次在状态7、8、5、S中。我们用Suffix Link这一串状态链接起来，这条link就是上图中的绿色虚线。

小Ho：原来如此。

小Hi：Suffix Links后面会有妙用，我们暂且按下不表。

SAM的Transition Function

小Hi：最后我们来介绍SAM的转移函数。对于一个状态st，我们首先找到从它开始下一个遇到的字符可能是哪些。我们将st遇到的下一个字符集合记作next(st)，有next(st) = {S[i+1] | i ∈ endpos(st)}。例如next(S)={S[1], S[2], S[3], S[4], S[5], S[6], S[7]}={a, b, d}，next(8)={S[4], S[7]}={b, d}。

小Hi：对于一个状态st来说和一个next(st)中的字符c，你会发现substrings(st)中的所有子串后面接上一个字符c之后，新的子串仍然都属于同一个状态。比如对于状态4，next(4)={a}，aabb,abb,bb后面接上字符a得到aabba，abba，bba，这些子串都属于状态6。

小Hi：所以我们对于一个状态st和一个字符c∈next(st)，可以定义转移函数trans(st, c) = x | longest(st) + c ∈ substrings(x) 。换句话说，我们在longest(st)（随便哪个子串都会得到相同的结果）后面接上一个字符c得到一个新的子串s，找到包含s的状态x，那么trans(st, c)就等于x。

小Ho：吼~ 终于把SAM中各个部分搞明白了。

小Hi：SAM的构造有时空复杂度均为O(length(S))的算法，我们将在后面介绍。这一期你可以先用暴力算法依照定义构造SAM，先对SAM有个直观认识再说。

小Ho：没问题，暴力算法我最拿手了。我先写程序去了。

输入

第一行包含一个字符串S，S长度不超过50。

第二行包含一个整数N，表示询问的数目。(1 <= N <= 10)

以下N行每行包括一个S的子串s，s不为空串。

输出

对于每一个询问s，求出包含s的状态st，输出一行依次包含shortest(st)、longest(st)和endpos(st)。其中endpos(st)由小到大输出，之间用一个空格分割。

样例输入

aabbabd
5
b
abbab
aa
aabbab
bb

样例输出

b b 3 4 6
bab aabbab 6
aa aa 2
bab aabbab 6
bb aabb 4

思路

本题是通过暴力来模拟SAM的构造方法，初步理解后缀自动机

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<string, set<int>> mp;
int main()
{//freopen("in.txt", "r", stdin);string s, sub;cin >> s;for (int l = 1; l <= s.length(); l++){for (int i = 0; i + l <= s.length(); i++){int j = i + l;sub = s.substr(i, l);set<int> tmp = mp[sub];tmp.insert(i + l);mp[sub] = tmp;}}int t;cin >> t;while (t--){cin >> s;string s1 = s, s2 = s;set<int> tmp = mp[s];for (auto st : mp){if (st.second == tmp){if (st.first.length() < s1.length())s1 = st.first;if (st.first.length() > s2.length())s2 = st.first;}}cout << s1 << " " << s2 << " ";for (auto num : tmp)cout << num << " ";cout << endl;}return 0;
}

HihoCoder - 1441 后缀自动机一·基本概念(模拟)相关推荐

HihoCoder - 1441 后缀自动机一·基本概念(模拟，后缀自动机入门好题)
题目链接:点击查看题目大意:给出后缀自动机的定义以及各部分的参数,要求模拟后缀自动机的各个部分题目分析:直接按照后缀自动机的定义模拟就好了,因为字符串的长度只有50,所以可以用n^3的算法暴力,还 ...
hihoCoder #1441 : 后缀自动机一·基本概念
题目链接输入第一行包含一个字符串S,S长度不超过50. 第二行包含一个整数N,表示询问的数目.(1 <= N <= 10) 以下N行每行包括一个S的子串s,s不为空串. 输出对于每一 ...
【hiho】127 后缀自动机一·基本概念【后缀自动机】
传送门:后缀自动机一·基本概念后缀自动机(Suffix Automaton,简称SAM)是处理字符串的很强大的工具,对于一个字符串S,它对应的后缀自动机是一个最小的确定有限状态自动机(DFA),接受 ...
hihoCoder #1457 : 后缀自动机四·重复旋律7
题目链接描述小Hi平时的一大兴趣爱好就是演奏钢琴.我们知道一段音乐旋律可以被表示为一段数构成的数列. 神奇的是小Hi发现了一部名字叫<十进制进行曲大全>的作品集,顾名思义,这部作品集里 ...
hihoCoder #1445 : 后缀自动机二·重复旋律5
描述小Hi平时的一大兴趣爱好就是演奏钢琴.我们知道一个音乐旋律被表示为一段数构成的数列. 现在小Hi想知道一部作品中出现了多少不同的旋律? 输入共一行,包含一个由小写字母构成的字符串.字符串长度不 ...
hihoCoder #1449 : 后缀自动机三·重复旋律6
题目链接时间限制:15000ms 单点时限:3000ms 内存限制:512MB 描述小Hi平时的一大兴趣爱好就是演奏钢琴.我们知道一个音乐旋律被表示为一段数构成的数列. 现在小Hi想知道一部作品中 ...
HihoCoder - 1465 后缀自动机五·重复旋律8(后缀自动机)
题目链接:点击查看题目大意:给出一个模式串,在给出多个匹配串,问每个匹配串与其"循环相似旋律"的字符串,在模式串中出现的总次数,"循环相似旋律"指的是一个字符 ...
HihoCoder - 1457 后缀自动机四·重复旋律7(后缀自动机)
题目链接:点击查看题目大意:给出 n 个由 0~9 的数字组成的字符串,现在要求每个子串所表示的十进制下数字的累加之和题目分析:因为对于字符串的所有子串而言数量无疑是非常庞大的,所以我们选择用后缀 ...
HihoCoder - 1445 后缀自动机二·重复旋律5(后缀自动机)
题目链接:点击查看题目大意:给出一个字符串 s ,求 s 中本质不同的子串的数量题目分析:因为 s 的长度给到了 1e6 ,用后缀数组可能会超时,所以最好的方法肯定是用后缀自动机来做,因为每个节点 ...

HihoCoder - 1441 后缀自动机一·基本概念(模拟)

描述