A. The Fair Nut and the Best Path(无根树dp详解)

https://codeforces.com/problemset/problem/1083/A

题意：到达一个点得到这个点的价值，经过一个边花费这个边的价值，求得到的最大价值

思路：之前碰过一些无根树的问题，有些是直接定1为根就可以了不用考虑其他，但是有些不行。比如树的重心，一种方法是定1为根然后考虑dp转移过程中该节点“头上”的量。比如树的直径，确实可以两次dfs求，树形dp的求法也是类似考虑节点“头上”的量。

这题是个无根树，考虑头上的量。

先考虑以u为根节点的子树，

1.u是起点，那么就是u在子树中所能获得的最大价值

2.u是转折点，那么就是u在子树中获得的最大价值与次大价值之和

这个转折点的意思是，出现了一个类似倒V形状，注意这道题的一个要求是路径是简单路径，也就是没有重边和自环

然后考虑u通过父亲所能获得的最大价值与u在子树中所能获得的最大价值之和

类似树的直径问题。

这里注意通过fa[u]获得的最大价值，是不会以u作为转折点获得的，因为转折点的话就已经完成了简单路径，要走上去的话要回走一条重边。

然后发现 u通过父亲fa所能获得的最大价值与u在子树中所能获得的最大价值之和 其实已经被

以fa为转折点(我的理解)在子树中所能获得的最大价值 所包括

而在dp的转移中，用dp[]维护的是u为起点的最大价值，怎么取u为转折点呢？用一个ans去维护ans=max(ans,dp[u]+dp[v]-cost);

这个ans的右边的值就是一个倒V的值，取且只能取一个最大的。

dp的转移也是转移以u为起点的最大价值，是一条直着的路径，不会转折。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define debug(a) cout<<#a<<"="<<a<<endl;
using namespace std;
const int maxn=3e5+100;
typedef long long LL;
LL val[maxn],dp[maxn],ans;
vector< pair<LL,LL> >g[maxn];
void dfs(LL u,LL fa)
{dp[u]=val[u];ans=max(ans,dp[u]);for(LL i=0;i<g[u].size();i++){LL v=g[u][i].first;LL w=g[u][i].second;if(v==fa) continue;dfs(v,u);ans=max(ans,dp[u]+dp[v]-w);dp[u]=max(dp[u],dp[v]+val[u]-w); }
}
int main(void)
{cin.tie(0);std::ios::sync_with_stdio(false);LL n;cin>>n;for(LL i=1;i<=n;i++) cin>>val[i];for(LL i=1;i<n;i++){LL x,y,w;cin>>x>>y>>w;g[x].push_back({y,w});g[y].push_back({x,w});} dfs(1,0);cout<<ans<<endl;
return 0;
}

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