[codevs 1922] 骑士共存问题

题解：

二分图最大独立集问题。

二分图的最大独立集：

选出一些点，让两两之间没有边相连。

二分图最大独立集问题一般转化为它的对偶问题——最小覆盖集，因为最大独立集要求每条边所连接的两个点最多有一个被选中，而最小覆盖集要求每条边所连接的两个点最少有一个被选中。那么点的个数-最小覆盖集点的个数=最大独立集（显然减掉的越少剩下的越多）。

那么最小覆盖怎么求呢？答案就是建立二分图求最大基数匹配。可以简单证明一下：

1）充分性：如果还有一条边没有被覆盖，那么此时一定可以把这条边作为一条新的匹配，说明此时还不是最大匹配。

2）必要性：如果可以删去一条边，二分图匹配边中是没有交点的，那么删去后这条边一定不会被覆盖。

算法就到此结束。

原题中记得要把总点数减去不能走的格子数。

代码：

dinic算法过了，ISAP死活不对...应该是我写的问题。

Dinic：

总时间耗费: 3172ms

总内存耗费: 11 kB

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;const int maxn = 200 * 200 + 10;
const int INF = 1e9 + 7;const int dx[] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1};
const int dy[] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};int n, m, s, t;struct Edge {int from, to, cap, flow;
};vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];void AddEdge(int from, int to, int cap) {edges.push_back((Edge){from, to, cap, 0});edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0});int sz = edges.size();G[from].push_back(sz-2);G[to].push_back(sz-1);
}int id[222][222];
void init() {cin >> n >> m;s = 0; t = n*n - m + 1;for(int i = 0; i < m; i++) {int x, y;cin >> x >> y;id[x][y] = -1;}int c = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)if(!id[i][j])  id[i][j] = ++c;for(int x = 1; x <= n; x++)for(int y = 1; y <= n; y++) if(id[x][y] > 0) {int ID = id[x][y];if((x+y)%2 == 0) {AddEdge(s, ID, 1);for(int i = 0; i < 8; i++) {int newx = x + dx[i], newy = y + dy[i];int newID = id[newx][newy];if(newx <= n && newy <= n && newx >= 1 && newy >= 1 && newID > 0) AddEdge(ID, newID, INF);}} else {AddEdge(ID, t, 1);}}
}bool vis[maxn];
int d[maxn];
bool BFS() {queue<int> Q;Q.push(s);memset(vis, 0, sizeof(vis));d[s] = 0;vis[s] = 1;while(!Q.empty()) {int u = Q.front(); Q.pop();for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {Edge& e = edges[G[u][i]];if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {vis[e.to] = 1;d[e.to] = d[u] + 1;Q.push(e.to);}}}return vis[t];
}int cur[maxn];int DFS(int u, int a) {if(a == 0 || u == t) return a;int f, flow = 0;for(int& i = cur[u]; i < G[u].size(); i++) {Edge& e = edges[G[u][i]];if(d[u] + 1 == d[e.to] && (f = DFS(e.to, min(a, e.cap-e.flow))) > 0) {flow += f;e.flow += f;a -= f;edges[G[u][i]^1].flow -= f;if(a == 0) break;}}return flow;
}void Dinic() {int flow = 0;while(BFS()) {memset(cur, 0, sizeof(cur));flow += DFS(s, INF);}cout << n*n-m-flow << endl;
}int main() {init();Dinic();return 0;
}

ISAP：

TLE（哪错了呢？）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;const int maxn = 200 * 200 + 10;
const int INF = 1e9 + 7;const int dx[] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1};
const int dy[] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};int n, m, s, t;struct Edge {int from, to, cap, flow;
};vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];void AddEdge(int from, int to, int cap) {edges.push_back((Edge){from, to, cap, 0});edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0});int sz = edges.size();G[from].push_back(sz-2);G[to].push_back(sz-1);
}int id[222][222];
void init() {cin >> n >> m;s = 0; t = n*n - m + 1;for(int i = 0; i < m; i++) {int x, y;cin >> x >> y;id[x][y] = -1;}int c = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)if(!id[i][j])  id[i][j] = ++c;for(int x = 1; x <= n; x++)for(int y = 1; y <= n; y++) if(id[x][y] > 0) {int ID = id[x][y];if((x+y)%2 == 0) {AddEdge(s, ID, 1);for(int i = 0; i < 8; i++) {int newx = x + dx[i], newy = y + dy[i];int newID = id[newx][newy];if(newx <= n && newy <= n && newx >= 1 && newy >= 1 && newID > 0) AddEdge(ID, newID, INF);}} else {AddEdge(ID, t, 1);}}
}bool vis[maxn];
int d[maxn], p[maxn], cur[maxn], num[maxn];int Augment() {int x = t, a = INF;while(x != 1) {Edge& e = edges[p[x]];a = min(a, e.cap-e.flow);x = e.from;}x = t;while(x != 1) {edges[p[x]].flow += a;edges[p[x]^1].flow -= a;x = edges[p[x]].from;}return a;
}void BFS() {queue<int> Q;bool vis[maxn];memset(vis, 0, sizeof(vis));d[t] = 0;Q.push(t);while(!Q.empty()) {int x = Q.front(); Q.pop();for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {Edge& e = edges[G[x][i]];if(e.cap == 0 && !vis[e.to]) {d[e.to] = d[x] + 1;vis[e.to] = 1;Q.push(e.to);}}}
} void Maxflow() {int flow = 0;BFS();memset(num, 0, sizeof(num));for(int i = 0; i <= t; i++) num[d[i]]++;int x = s;memset(cur, 0, sizeof(cur));while(d[s] < t) {if(x == t) {flow += Augment();x = s;}int ok = 0;for(int i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {Edge& e = edges[G[x][i]];if(e.cap > e.flow && d[x] == d[e.to] + 1) {ok = 1;p[e.to] = G[x][i];cur[x] = i;x = e.to;break;}}if(!ok) {int _m = t - 1;for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {Edge& e = edges[G[x][i]];if(e.cap > e.flow) _m = min(_m, d[e.to]);}if(--num[d[x]] == 0) break;num[d[x] = _m+1]++;cur[x] = 0;if(x != s) x = edges[p[x]].from;}}cout << n*n-m-flow << endl;
}int main() {init();Maxflow();return 0;
}

我的ISAP连草地排水都WA一个点。。。

dinic算法过了，ISAP死活不对...应该是我写的问题。

TLE

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