「SCOI 2018 D2T1」Pipi 酱的日常

传送门

problem

给定 nnn 个数，第 i(1≤i≤n)i(1\le i\le n)i(1≤i≤n) 个位置上的值为 xix_ixi，有 mmm 个操作，操作有以下两种：

1 pos v：将 xxx 数组中位置 pospospos 上的数字改为 vvv；
2 l r u：选择 xxx 数组 [l,r][l,r][l,r] 中的某连续三个数加 uuu，新得到的数组称为 yyy，求所有可能形成的 yyy 数组的各元素绝对值之和的最大值（操作 222 不会改变 xxx 数组）。

数据范围：3≤n,m≤1053\le n,m\le 10^53≤n,m≤105。

solution

由于会有三个绝对值的变化，设 ∣a∣+∣b∣+∣c∣→∣a+u∣+∣b+u∣+∣c+u∣|a|+|b|+|c|\rightarrow |a+u|+|b+u|+|c+u|∣a∣+∣b∣+∣c∣→∣a+u∣+∣b+u∣+∣c+u∣，考虑暴力拆开：

+a+v+b+v+c+v=a+b+c+3v−a−v+b+v+c+v=−a+b+c+v+a+v−b−v+c+v=a−b+c+v−a−v−b−v+c+v=−a−b+c−v+a+v+b+v−c−v=a+b−c+v−a−v+b+v−c−v=−a+b−c−v+a+v−b−v−c−v=a−b−c−v−a−v−b−v−c−v=−a−b−c−3v\begin{aligned} +a+v+b+v+c+v&=a+b+c+3v\\ -a-v+b+v+c+v&=-a+b+c+v\\ +a+v-b-v+c+v&=a-b+c+v\\ -a-v-b-v+c+v&=-a-b+c-v\\ +a+v+b+v-c-v&=a+b-c+v\\ -a-v+b+v-c-v&=-a+b-c-v\\ +a+v-b-v-c-v&=a-b-c-v\\ -a-v-b-v-c-v&=-a-b-c-3v \end{aligned}+a+v+b+v+c+v−a−v+b+v+c+v+a+v−b−v+c+v−a−v−b−v+c+v+a+v+b+v−c−v−a−v+b+v−c−v+a+v−b−v−c−v−a−v−b−v−c−v=a+b+c+3v=−a+b+c+v=a−b+c+v=−a−b+c−v=a+b−c+v=−a+b−c−v=a−b−c−v=−a−b−c−3v

暴力维护一下以上 888 种结果，最后的答案一定是最大的那个。用线段树维护即可。

时间复杂度 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
ll a[N],SUM,val,ans;
int K[8][4]={1, 1, 1, 3,1, 1,-1, 1,1,-1, 1, 1,-1, 1, 1, 1,1,-1,-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-3
};
ll Abs(ll x)  {return x>0?x:-x;}
namespace SGT{ll mx[N<<2][10];void pushup(int root){for(int i=0;i<8;++i)mx[root][i]=max(mx[root<<1][i],mx[root<<1|1][i]);}#define mid ((l+r)>>1)void build(int root,int l,int r){if(l==r){for(int i=0;i<8;++i)mx[root][i]=K[i][0]*a[l]+K[i][1]*a[l+1]+K[i][2]*a[l+2]-Abs(a[l])-Abs(a[l+1])-Abs(a[l+2]);return;}build(root<<1,l,mid),build(root<<1|1,mid+1,r);pushup(root);}void Modify(int root,int l,int r,int pos){if(l==r){for(int i=0;i<8;++i)mx[root][i]=K[i][0]*a[l]+K[i][1]*a[l+1]+K[i][2]*a[l+2]-Abs(a[l])-Abs(a[l+1])-Abs(a[l+2]);return;}if(pos<=mid)  Modify(root<<1,l,mid,pos);else  Modify(root<<1|1,mid+1,r,pos);pushup(root);}ll Query(int root,int l,int r,int x,int y,int id){if(l>=x&&r<=y)  return mx[root][id];if(y<=mid)  return Query(root<<1,l,mid,x,y,id);if(x> mid)  return Query(root<<1|1,mid+1,r,x,y,id);return max(Query(root<<1,l,mid,x,y,id),Query(root<<1|1,mid+1,r,x,y,id));}void update(int pos){if(pos>=1&&pos<=n-2)  Modify(1,1,n-2,pos);if(pos>=2&&pos<=n-1)  Modify(1,1,n-2,pos-1);if(pos>=3&&pos<=n  )  Modify(1,1,n-2,pos-2);}#undef mid
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i)  scanf("%lld",&a[i]),SUM+=Abs(a[i]);SGT::build(1,1,n-2);int op,pos,l,r;while(m--){scanf("%d",&op);if(op==1){scanf("%d%lld",&pos,&val);SUM-=Abs(a[pos]),a[pos]=val,SUM+=Abs(val),SGT::update(pos);}else{scanf("%d%d%lld",&l,&r,&val),ans=-1e15;for(int i=0;i<8;++i)  ans=max(ans,SGT::Query(1,1,n-2,l,r-2,i)+K[i][3]*val);printf("%lld\n",ans+SUM);}}return 0;
}